Lý thuyết phương trình đường thẳng

Câu hỏi: 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa :
vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu  ≠  và giá của  song song hoặc trùng với

Nhận xét :
- Nếu  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì cũng là một vectơ chỉ phương của , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ  làm vectơ chỉ phương là :
: 
-Khi thì tỉ số  được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k là:

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc với góc là góc của đường thẳng hợp với chiều dương của trục
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
Định nghĩa: Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu   ≠  và  vuông góc với vectơ chỉ phương của
Nhận xét:
- Nếu   là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k cũng là một vectơ pháp tuyến của , do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình với và không đồng thời bằng , được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+  Nếu hoặc trùng Ox (khi c=0)
+ Nếu hoặc trùng Oy (khi c=0)
+ Nếu đi qua gốc tọa độ
+ Nếu cắt tại và tại thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng :

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng  ∆1 ​và ∆2 ​
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1​x+b1​y + c1​ = 0 và a2​x+b2​y +c2​ = 0
Điểm ) là điểm chung của  ∆1 ​và ∆2  ​khi và chỉ khi  là nghiệm của hệ hai phương trình:
(1)  
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 ​cắt ∆2​
b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 ​// ∆2​
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1​ ∆2​
6. Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 ​và ∆2 ​cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 ​không vuông góc với ∆2 ​thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 ​và ∆2​.
Nếu ∆1 ​vuông góc với  ∆2 ​thì ta nói góc giữa ∆1 ​và ∆2 ​bằng  900​.
Trường hợp  ∆1 ​và ∆2 ​song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa  ∆1 ​và ∆2 ​bằng 00​.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng  900  ​
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 ​và ∆2 ​được kí hiệu là 
Cho hai đường thẳng:
∆1​: a1​x+b1​y + c1​ = 0
∆2​: a2​x+b2​y + c2​ = 0
Đặt  = 
 = 
Chú ý:
+
+ Nếu  ​và  ​có phương trình y = k1 ​x + m1 ​và y = k2​ x + m2 ​thì

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng cho đường thẳng có phương trình  và điểm ).
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng kí hiệu là , được tính bởi công thức