Lý thuyết phép thử và biến cố

Câu hỏi: I. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
1. Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Trong "Xác suất" ở trường phổ thông, ta chỉ xét những phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả có thể có.
Sau đây, ta sẽ gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.
2. Không gian mẫu
Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.
Không gian mẫu .
II. Biến cố
1. Định nghĩa
Giả sử là không gian mẫu của phép thử .
a) Nếu là tập con của thì ta nói là biến cố (liên quan đến phép thử ).
b) Trong kết quả của việc thực hiện phép thử , nếu có một phần tử của biến cố xảy ra thì ta nói "biến cố xảy ra".
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.
Không gian mẫu .
Gọi là biến cố: "Các mặt xuất hiện chẵn chấm".
Khi đó .
2. Biến cố không thể và biến cố chắc chắn
Giả sử là không gian mẫu của phép thử , ta có các định nghĩa sau:
a) Biến cố được gọi là biến cố ngẫu nhiên (liên quan đến phép thử ), nếu như khác rỗng và là tập con thực sự của .
b) Tập rỗng được gọi là biến cố không thể (liên quan đến phép thử ) (gọi tắt là biến cố không).
c) Tập được gọi là biến cố chắc chắn (liên quan đến phép thử ).
3. Các quan hệ và các phép toán trên các biến cố (liên quan đến cùng một phép thử)
Giả sử là không gian mẫu của phép thử ; là các biến cố cùng liên quan đến phép thử , ta có các định nghĩa và các kết quả sau:
3.1 Hai biến cố đồng nhất
Định nghĩa:
Hai biến cố và là đồng nhất với nhau khi và chỉ khi "Tập bằng tập "
Chú ý: Từ định nghĩa trực tiếp suy ra rằng hai biến cố và đồng nhất với nhau khi và chỉ khi chúng đồng thời xảy ra hoặc đồng thời cùng không xảy ra, mỗi khi phép thử được thực hiện.
Kí hiệu: .
3.2 Hợp và giao của các biến cố
Giả sử là hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau:
+) Tập được gọi là hợp của các biến cố và .
xảy ra khi và chỉ khi xảy ra hoặc xảy ra.
+) Tập được gọi là giao của các biến cố và .
xảy ra khi và chỉ khi và đồng thời xảy ra.
Biến cố còn được viết là .
3.3 Hai biến cố xung khắc
Hai biến cố và là xung khắc với nhau khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra hay .
3.4 Biến cố đối
Định nghĩa:
Nếu là biến cố liên quan đến phép thử thì tập cũng là một biến cố liên quan đến phép thử và được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là .
Chú ý:
Từ định nghĩa trực tiếp suy ra:
a) = "Không xảy ra biến cố ". Từ đó ta có:
( xảy ra) ⇔ ( không xảy ra).
b) là phần bù của trong .
c) là biến cố đối của biến cố thì là biến cố đối của biến cố ( và là hai biến cố đối nhau). Đồng thời ta có:
( và   là hai biến cố đối nhau)  ⇔ .
Ví dụ:
Gieo một con súc sắc thì đây là môt phép thử.
Không gian mẫu .
Gọi là biến cố: "Các mặt xuất hiện chẵn chấm".
Khi đó .
Gọi là biến cố: "Các mặt xuất hiện lẻ chấm".
Khi đó .
Dễ thấy:
và nên và là các biến cố đối của nhau.