Lý thuyết mặt cầu

Câu hỏi: 1. Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng không đổi được gọi là một mặt cầu tâm bán kính .

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.
* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.
* Cho mặt cầu và điểm trong không gian.
- Nếu thì điểm nằm trên mặt cầu
- Nếu thì điểm nằm trong mặt cầu.
- Nếu thì điểm nằm ngoài mặt cầu.
2. Tính chất: Nếu điểm ngoài mặt cầu thì:
- Qua có vô số tiếp tuyến với mặt càu.
- Độ dài các đoạn thẳng nối với các tiếp điểm đều bằng nhau.
- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu tâm bán kính và mặt phẳng ; là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Khi đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Khi đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng .
- Nếu thì tiếp xúc mặt cầu.
- Nếu thì không có điểm chung với mặt cầu.
- Nếu thì giao mặt cầu theo một đường tròn tâm , bán kính
nằm trên mặt phẳng .
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ lên , đặt . Thế thì:
- Khi ta có đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại .
- Khi : đư
- Khi đường thẳng không cắt mặt cầu.
5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
Mặt cầu bán kính có diện tích là .
Khối cầu bán kính có thể tích là
ờng thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm mà độ dài