Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Câu hỏi: 1. Hoán vị
Cho phần tử khác nhau (). Mỗi cách sắp thứ tự của phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của phần tử đó.
Định lí
Số các hoán vị của phần tử khác nhau đã cho () được kí hiệu là  và bằng:

Ví dụ:
Tính số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc.
Hướng dẫn:
Mỗi cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của phần tử.
Vậy số cách xếp bạn học sinh thành một hàng dọc là .
2. Chỉnh hợp
Định nghĩa
Cho tập hợp gồm phần tử .
Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chậpcủaphần tử đã cho.
Chú ý
Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập của phần tử đó.
Định lí
Số chỉnh hợp chập của phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là  và bằng

Với quy ước .
Ví dụ:
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số ?
Hướng dẫn:
Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy chữ số từ tập và xếp chúng theo một thứ tự nhất định.
Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập của phần tử.
Vậy số các số cần tìm là số.
3. Tổ hợp
Định nghĩa
Cho phần tử khác nhau (). Mỗi tập con gồm phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp phần tử đã cho () được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).
Định lí
Số các tổ hợp chập của phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là  và bằng
= , ()
Ví dụ:
Một bàn học sinh có nam và nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra bạn để làm trực nhật?
Hướng dẫn:
Mỗi cách chọn ra bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập của phần tử.
Vậy số cách chọn là: (cách)
Định lí
Với mọi , ta có:
a)
b)  = .