Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi: 1. Tam thức bậc hai (một ẩn) là đa thức có dạng \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) trong đó \(x\) là biến \(a, b, c\) là các số đã cho, với \(a ≠ 0\).
Định lí.
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).
- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).
- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\frac{b}{2a}\).
Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\frac{b}{2a}\).
- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left({{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn.
Là mệnh đề chứa một biến có một trong các dạng:
\(a{x^2} + bx + c > 0, a{x^2} + bx + c < 0,\)\(a{x^2} + bx + c \ge 0, a{x^2} + bx + c \le 0\), trong đó vế trái là một tam thức bậc hai.
Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Chú ý:
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left({a \ne 0} \right)\)
\(a{x^2} + bx + c > 0, \forall x \in R \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)
\(a{x^2} + bx + c \ge 0, \forall x \in R \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)
\(a{x^2} + bx + c < 0, \forall x \in R \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)
\(a{x^2} + bx + c \le 0, \forall x \in R \) \(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)