Lý thuyết bất đẳng thức

Câu hỏi: 1. Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng , trong đó là các biểu thức chứa các số và các phép toán.
Biểu thức được gọi là vế trái, là vế phải của bất đẳng thức.
Nếu mệnh đề: là mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức là hệ quả của bất đẳng thức .
Nếu và là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức và tương đương, kí hiệu là .
2. Các tính chất của bất đẳng thức.
TC1. (Tính chất bắc cầu)

TC2. (Quy tắc cộng):
TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều)

TC4. (Quy tắc nhân)


TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức)

TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn)
Với  ta có:

.
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi)
Ta gọi  là trung bình cộng của hai số .
Tổng quát trung bình cộng của n số  là
Trung bình nhân của hai số không âm là
Trung bình nhân của n số không âm  là

Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si:
    .
Dấu chỉ xảy ra khi .
Người ta cũng có:
   .
 
Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ta có các bất đẳng thức sau:
     
Dấu chỉ xảy ra khi