Google
Câu hỏi: Hai dao động điều hòa thành phần cùng phương, có phương trình ${{\text{x}}_{1}}={{\text{A}}_{1}}\cos \left( \omega t+\dfrac{\pi }{3} \right)\left(\text{cm}\right)$ và
${{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{2}}\cos \left( \omega \text{t}-\dfrac{\pi }{4} \right)\left(\text{cm}\right)$. Biết phương trình dao động tổng hợp là $x=5\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left(\text{cm}\right)$. Để $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)$ có giá trị cực đại thì $\varphi $ có giá trị là
A. $\dfrac{\pi }{12}$
B. $\dfrac{\pi }{24}$
C. $\dfrac{5\pi }{12}$
D. $\dfrac{\pi }{6}$
${{\text{x}}_{2}}={{\text{A}}_{2}}\cos \left( \omega \text{t}-\dfrac{\pi }{4} \right)\left(\text{cm}\right)$. Biết phương trình dao động tổng hợp là $x=5\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left(\text{cm}\right)$. Để $\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)$ có giá trị cực đại thì $\varphi $ có giá trị là
A. $\dfrac{\pi }{12}$
B. $\dfrac{\pi }{24}$
C. $\dfrac{5\pi }{12}$
D. $\dfrac{\pi }{6}$
Phương pháp:
Biên độ dao động tổng hợp: $\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \left({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}$
Bất đẳng thức Cô – si : $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ \left(dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow $ a = b\right)
Pha ban đầu của dao động tổng hợp: $\tan \varphi =\frac{{{\text{A}}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{\text{A}}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{~{{\text{A}}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}+{{\text{A}}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}}$
Cách giải:
Biên độ dao động tổng hợp là:
$\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \left({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}\Rightarrow 5=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \left[ \frac{\pi }{3}-\left(-\frac{\pi }{4} \right) \right]}$
$\Rightarrow 25=\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}-0,52~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\Rightarrow 25={{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}-2,52~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
${{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)}^{2}}\ge 4{{A}_{1}}{{A}_{2}}\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}\le \frac{{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow {{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}-2,52~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\ge {{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}-2,52\frac{{{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow 25\ge 0,37{{\left(~{{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}\ge 67,57\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}}\le 8,22(~\text{cm})$
\left(cm\right) \left(dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {{\text{A}}_{1}}={{\text{A}}_{2}}$ \right)
Pha ban đầu của dao động tổng hợp là:
$\tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}}\Rightarrow \tan \varphi =$ $\frac{{{A}_{1}}\sin \frac{\pi }{3}+{{A}_{1}}\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)}{{{A}_{1}}\cos \frac{\pi }{3}+{{A}_{1}}\cos \left(-\frac{\pi }{4} \right)}\approx 0,13\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{24}(\text{rad})$
Biên độ dao động tổng hợp: $\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \left({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}$
Bất đẳng thức Cô – si : $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ \left(dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow $ a = b\right)
Pha ban đầu của dao động tổng hợp: $\tan \varphi =\frac{{{\text{A}}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{\text{A}}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{~{{\text{A}}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}+{{\text{A}}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}}$
Cách giải:
Biên độ dao động tổng hợp là:
$\text{A}=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \left({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}\Rightarrow 5=\sqrt{\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}+2~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\cos \left[ \frac{\pi }{3}-\left(-\frac{\pi }{4} \right) \right]}$
$\Rightarrow 25=\text{A}_{1}^{2}+\text{A}_{2}^{2}-0,52~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\Rightarrow 25={{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}-2,52~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
${{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)}^{2}}\ge 4{{A}_{1}}{{A}_{2}}\Rightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}\le \frac{{{\left({{A}_{1}}+{{A}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow {{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}-2,52~{{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}\ge {{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}-2,52\frac{{{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow 25\ge 0,37{{\left(~{{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left({{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}} \right)}^{2}}\ge 67,57\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}+{{\text{A}}_{2}}\le 8,22(~\text{cm})$
\left(cm\right) \left(dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {{\text{A}}_{1}}={{\text{A}}_{2}}$ \right)
Pha ban đầu của dao động tổng hợp là:
$\tan \varphi =\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}}\Rightarrow \tan \varphi =$ $\frac{{{A}_{1}}\sin \frac{\pi }{3}+{{A}_{1}}\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)}{{{A}_{1}}\cos \frac{\pi }{3}+{{A}_{1}}\cos \left(-\frac{\pi }{4} \right)}\approx 0,13\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{24}(\text{rad})$
Đáp án B.