Google
Câu hỏi: Hai con lắc lò xo dao động điều hòa có động năng biến thiên theo thời gian như đồ thị, con lắc thứ nhất là đường (1) và con lắc thứ hai là đường (2). Vào thời điểm thế năng hai con lắc bằng nhau thì tỉ số động năng con lắc (1) và động năng con lắc (2) là:
A. $\dfrac{81}{25}$.
B. $\dfrac{9}{4}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{9}{5}$.
A. $\dfrac{81}{25}$.
B. $\dfrac{9}{4}$.
C. $\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{9}{5}$.
Phương pháp:
Động năng cực đại: ${{W}_{d}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}$
Động năng: ${{W}_{d}}=W-{{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$
Thế năng: ${{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}$
Sử dụng kĩ năng đọc đồ thị và biến đổi toán học.
Cách giải:
Từ đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{W}_{d1max}}=1,5{{W}_{d2\max }}\Leftrightarrow {{m}_{1}}{{\omega }_{1}}A_{1}^{2}=1,5{{m}_{2}}{{\omega }_{2}}A_{2}^{2} \\
{{T}_{d1}}={{T}_{d2}}\Rightarrow {{\omega }_{1}}={{\omega }_{2}} \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{m}_{1}}A_{1}^{2}=1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}$
.
Khi thế năng hai con lắc bằng nhau: ${{W}_{t1}}={{W}_{t2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{m}_{1}}{{\omega }_{1}}x_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}{{m}_{2}}{{\omega }_{2}}x_{2}^{2}\Leftrightarrow {{m}_{1}}x_{1}^{2}={{m}_{2}}x_{2}^{2}\left(2\right)$
Tỉ số động năng của hai con lắc khi đó: $\dfrac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\dfrac{{{m}_{1}}v_{1}^{2}}{{{m}_{2}}v_{2}^{2}}=\dfrac{{{m}_{1}}\left( A_{1}^{2}-x_{1}^{2} \right)}{{{m}_{2}}\left( A_{2}^{2}-x_{2}^{2} \right)}=\dfrac{{{m}_{1}}A_{1}^{2}-{{m}_{1}}x_{1}^{2}}{{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}$ $(3)$
Thay $\left(1\right); \left(2\right)$ vào $\left(3\right)$ ta được: $\frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}{{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}=\frac{1,5A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}=\frac{1,5-\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}{1-\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}(4)$
Từ đồ thị ta thấy $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ dao động vuông pha nên:
$\frac{x_{1}^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{{{m}_{2}}x_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}}{\frac{1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{x_{2}^{2}}{1,5A_{2}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Rightarrow \frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=0,6(5)$
Từ $\left(4\right)$ và $\left(5\right)$ $\Rightarrow \frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{1,5-0,6}{1-0,6}=\frac{9}{4}$
Động năng cực đại: ${{W}_{d}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}$
Động năng: ${{W}_{d}}=W-{{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$
Thế năng: ${{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}$
Sử dụng kĩ năng đọc đồ thị và biến đổi toán học.
Cách giải:
Từ đồ thị ta thấy: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{W}_{d1max}}=1,5{{W}_{d2\max }}\Leftrightarrow {{m}_{1}}{{\omega }_{1}}A_{1}^{2}=1,5{{m}_{2}}{{\omega }_{2}}A_{2}^{2} \\
{{T}_{d1}}={{T}_{d2}}\Rightarrow {{\omega }_{1}}={{\omega }_{2}} \\
\end{array} \right.\Rightarrow {{m}_{1}}A_{1}^{2}=1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}$
.
Khi thế năng hai con lắc bằng nhau: ${{W}_{t1}}={{W}_{t2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{m}_{1}}{{\omega }_{1}}x_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}{{m}_{2}}{{\omega }_{2}}x_{2}^{2}\Leftrightarrow {{m}_{1}}x_{1}^{2}={{m}_{2}}x_{2}^{2}\left(2\right)$
Tỉ số động năng của hai con lắc khi đó: $\dfrac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\dfrac{{{m}_{1}}v_{1}^{2}}{{{m}_{2}}v_{2}^{2}}=\dfrac{{{m}_{1}}\left( A_{1}^{2}-x_{1}^{2} \right)}{{{m}_{2}}\left( A_{2}^{2}-x_{2}^{2} \right)}=\dfrac{{{m}_{1}}A_{1}^{2}-{{m}_{1}}x_{1}^{2}}{{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}$ $(3)$
Thay $\left(1\right); \left(2\right)$ vào $\left(3\right)$ ta được: $\frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}{{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}=\frac{1,5A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}=\frac{1,5-\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}{1-\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}(4)$
Từ đồ thị ta thấy $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ dao động vuông pha nên:
$\frac{x_{1}^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{{{m}_{2}}x_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}}{\frac{1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{x_{2}^{2}}{1,5A_{2}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Rightarrow \frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=0,6(5)$
Từ $\left(4\right)$ và $\left(5\right)$ $\Rightarrow \frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{1,5-0,6}{1-0,6}=\frac{9}{4}$
Đáp án B.