Google
Câu hỏi: Hai chất điểm cùng khối lượng, dao động dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox, có phương trình lần lượt là ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$. Gọi d là khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm theo phương Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của d theo A1 (với ${{A}_{2}},{{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}}$ là các giá trị xác định). Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. Nếu W1 là tổng cơ năng của hai chất điểm ở giá trị a1 và W2 là tổng cơ năng của hai chất điểm ở giá trị a2 thì tỉ số $\dfrac{{{W}_{1}}}{{{W}_{2}}}$ gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 0,6
B. 0,5
C. 0,4
D. 0,3
A. 0,6
B. 0,5
C. 0,4
D. 0,3
Phương pháp:
+ Khoảng cách giữa hai chất điểm: $\Delta d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\mid {{x}_{1}}+\left( -{{x}_{2}} \right)$
+ Sử dụng công thức tổng hợp dao động điều hòa cùng tần số.
+ Sử dụng kĩ năng khai thác thông tin từ đồ thị.
+ Công thức tính cơ năng: $W=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)\Rightarrow -{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+\pi \right) \\
\end{array} \right.$
Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox: $\Delta d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| {{x}_{1}}+\left( -{{x}_{2}} \right) \right|=d\cdot \cos (\omega t+\varphi )$
Với: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\Delta \varphi ={{\varphi }_{1}}-\left( {{\varphi }_{2}}+\pi \right) \\
d=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi } \\
\end{array} \right.$
Khi ${{A}_{1}}=0\Rightarrow d=12cm\Leftrightarrow \sqrt{{{0}^{2}}+A_{2}^{2}+2.0.{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi }=12cm\Rightarrow {{A}_{2}}=12cm$
Lại có: ${{d}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}},\cos \Delta \varphi ={{\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi \right)}^{2}}+A_{2}^{2}\left( 1-{{\cos }^{2}}\Delta \varphi \right)$
${{d}_{\min }}\Leftrightarrow {{A}_{1}}+{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi =0\Rightarrow \cos \Delta \varphi =-\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$
Mà ${{d}_{\min }}\Leftrightarrow {{A}_{1}}=9~\text{cm}\Rightarrow \cos \Delta \varphi =-\dfrac{9}{12}=-\dfrac{3}{4}$
+ Khi $d=10~\text{cm}$ ta có:
${{d}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}},\cos \Delta \varphi $
$\Leftrightarrow {{10}^{2}}=A_{1}^{2}+{{12}^{2}}+2{{A}_{1}}\cdot 12\cdot \left( -\dfrac{3}{4} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{A}_{1}}=2,92~\text{cm}={{a}_{1}} \\
{{A}_{1}}=15,08~\text{cm}={{a}_{2}} \\
\end{array} \right.$
Tỉ số cơ năng: $\dfrac{{{W}_{1}}}{{{W}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}a_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{2}^{2}}{\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}a_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{2}^{2}}=\dfrac{a_{1}^{2}+A_{2}^{2}}{a_{2}^{2}+A_{2}^{2}}=\dfrac{15,{{08}^{2}}+{{12}^{2}}}{2,{{92}^{2}}+{{12}^{2}}}=0,4$
+ Khoảng cách giữa hai chất điểm: $\Delta d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\mid {{x}_{1}}+\left( -{{x}_{2}} \right)$
+ Sử dụng công thức tổng hợp dao động điều hòa cùng tần số.
+ Sử dụng kĩ năng khai thác thông tin từ đồ thị.
+ Công thức tính cơ năng: $W=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\
{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)\Rightarrow -{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cdot \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}}+\pi \right) \\
\end{array} \right.$
Khoảng cách giữa hai chất điểm theo phương Ox: $\Delta d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| {{x}_{1}}+\left( -{{x}_{2}} \right) \right|=d\cdot \cos (\omega t+\varphi )$
Với: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\Delta \varphi ={{\varphi }_{1}}-\left( {{\varphi }_{2}}+\pi \right) \\
d=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi } \\
\end{array} \right.$
Khi ${{A}_{1}}=0\Rightarrow d=12cm\Leftrightarrow \sqrt{{{0}^{2}}+A_{2}^{2}+2.0.{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi }=12cm\Rightarrow {{A}_{2}}=12cm$
Lại có: ${{d}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}},\cos \Delta \varphi ={{\left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi \right)}^{2}}+A_{2}^{2}\left( 1-{{\cos }^{2}}\Delta \varphi \right)$
${{d}_{\min }}\Leftrightarrow {{A}_{1}}+{{A}_{2}}\cdot \cos \Delta \varphi =0\Rightarrow \cos \Delta \varphi =-\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$
Mà ${{d}_{\min }}\Leftrightarrow {{A}_{1}}=9~\text{cm}\Rightarrow \cos \Delta \varphi =-\dfrac{9}{12}=-\dfrac{3}{4}$
+ Khi $d=10~\text{cm}$ ta có:
${{d}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}},\cos \Delta \varphi $
$\Leftrightarrow {{10}^{2}}=A_{1}^{2}+{{12}^{2}}+2{{A}_{1}}\cdot 12\cdot \left( -\dfrac{3}{4} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{A}_{1}}=2,92~\text{cm}={{a}_{1}} \\
{{A}_{1}}=15,08~\text{cm}={{a}_{2}} \\
\end{array} \right.$
Tỉ số cơ năng: $\dfrac{{{W}_{1}}}{{{W}_{2}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}a_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{2}^{2}}{\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}a_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{2}^{2}}=\dfrac{a_{1}^{2}+A_{2}^{2}}{a_{2}^{2}+A_{2}^{2}}=\dfrac{15,{{08}^{2}}+{{12}^{2}}}{2,{{92}^{2}}+{{12}^{2}}}=0,4$
Đáp án C.