Giải mục 2 trang 102, 103, 104, 105 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

a) Trong không gian, cho điểm ở ngoài đường thẳng . Đặt . Trong , qua vẽ đường thẳng song song với , đặt . Có thể khẳng định hai mặt phẳng và trùng nhau không?

b) Cho ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt với (Hình 8).
Nếu và có điểm chung thì điểm có thuộc không?

Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
a) Theo đề bài ta có: nên là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Lại có: nên cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Theo tính chất thừa nhận 5: hai mặt phẳng phân biệt có một đường thẳng chung duy nhất. Vậy hai mặt phẳng và trùng nhau.
b) Ta có:

Do đó điểm nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng và . Vậy .

Thực hành 2

Cho hình chóp . Vẽ hình thang có hai đáy là và . Gọi là đường thẳng trong không gian đi qua và song song với . Chứng minh đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
Phương pháp giải:
Sử dụng:
‒ Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
‒ Tính chất: Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Lời giải chi tiết:

là hình thang có hai đáy là và nên .
Theo đề bài ta lại có .
Do đó (theo định lí 1).
Lại có: .

Hoạt động 3

Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a).
Trong không gian, cho ba đường thẳng không đồng phẳng, và cùng song song với . Gọi là điểm thuộc , là giao tuyến của và (Hình 13b). Do nên ta có và . Giải thích tại sao phải trùng với . Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa và .

Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
Lại có:
Mà qua chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng nên .
Do đó .

Thực hành 3

Cho tứ diện có và lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Gọi là mặt phẳng đi qua và cắt hai cạnh và lần lượt tại và .
a) Chứng minh là một hình thang.
b) Tìm vị trí của điểm dễ là hình bình hành.

Phương pháp giải:
Sử dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đổi một song song.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: là trung điểm của
là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác

Ta có:

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: .
Vậy là hình thang.
b) Để là hình bình hành thì .
Mà nên .
Khi đó là đường trung bình của tam giác .
trung điểm của AC.

Vận dụng 2

Một chiếc lều (Hình 16a) được minh hoạ như Hình 16b.
a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.
b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.

Phương pháp giải:
Áp dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Lời giải chi tiết:
a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song là: .
b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy là: .