Google
Câu hỏi: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi và hai đầu một đoạn mạch như hình vẽ. Khi K đóng, điều chỉnh giá trị của biến trở đến giá trị R1 hoặc R2 thì công suất tỏa nhiệt trên mạch đều bằng P. Độ lệch pha giữa điện áp tức thời hai đầu mạch và dòng điện trong mạch khi R = R1 là φ1, khi R = R2 là φ2, trong đó $\left| {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\dfrac{\pi }{6} \right|.$ Khi K mở, điều chỉnh giá trị R từ 0 đến rất lớn thì công suất tỏa nhiệt trên biến trở R cực đại bằng $\dfrac{2P}{3},$ công suất trên cả mạch cực đại bằng $\dfrac{2P}{\sqrt{3}}.$ Hệ số công suất của cuộn dây là
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$
D. $\dfrac{1}{\sqrt{13}}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$
D. $\dfrac{1}{\sqrt{13}}$
Phương pháp:
Sử dụng biến đổi toán học và các điều kiện P cực trị
+ Sử dụng biểu thức định luật ôm: $I=\dfrac{U}{R}$
+ Sử dụng công thức: $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}$
Cách giải:
Khi K đóng, mạch chỉ có R, C mắc nối tiếp.
Khi ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ thì ${{P}_{1}}={{P}_{2}}$ nên:
$i=0,5{{I}_{0}}={{I}_{0}}.\cos {{\varphi }_{i2}}\Rightarrow {{\varphi }_{i2}}=\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow \Delta {{\varphi }_{m}}={{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i1}}=-\dfrac{\pi }{3}$
$\Rightarrow \tan \Delta {{\varphi }_{m}}=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=-\sqrt{3}\Rightarrow {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}=-\sqrt{3}r$
$\Rightarrow {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}=-\sqrt{3}r=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}(R+r)\Rightarrow R=2r$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{2}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=2r \\
{{Z}_{1}}=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}r \\
\end{array} \right.$
Lại có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{I}_{01}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{Z}_{1}}} \\
{{I}_{02}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{Z}_{2}}} \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{{{I}_{01}}}{{{I}_{02}}}=\dfrac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right.\Rightarrow {{I}_{02}}={{I}_{0}}=3A$
Khi K mở thì mạch R, r, L, C nối tiếp Công suất mạch cực đại là:
${{P}_{\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\left( {{R}_{0}}+r \right)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}P\Rightarrow {{Z}_{L}}=2{{Z}_{C}}$
Công suất trên R cực đại:
${{P}_{R\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2R}=\dfrac{2P}{3}\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow r=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{3}}$
Thay các giá trị tìm được vào tính hệ số công suất cuộn dây:
$\cos {{\varphi }_{d}}=\dfrac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}$
Sử dụng biến đổi toán học và các điều kiện P cực trị
+ Sử dụng biểu thức định luật ôm: $I=\dfrac{U}{R}$
+ Sử dụng công thức: $\tan \varphi =\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{R}$
Cách giải:
Khi K đóng, mạch chỉ có R, C mắc nối tiếp.
Khi ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ thì ${{P}_{1}}={{P}_{2}}$ nên:
$i=0,5{{I}_{0}}={{I}_{0}}.\cos {{\varphi }_{i2}}\Rightarrow {{\varphi }_{i2}}=\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow \Delta {{\varphi }_{m}}={{\varphi }_{u}}-{{\varphi }_{i1}}=-\dfrac{\pi }{3}$
$\Rightarrow \tan \Delta {{\varphi }_{m}}=\dfrac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=-\sqrt{3}\Rightarrow {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}=-\sqrt{3}r$
$\Rightarrow {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}=-\sqrt{3}r=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}(R+r)\Rightarrow R=2r$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{Z}_{2}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=2r \\
{{Z}_{1}}=\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}r \\
\end{array} \right.$
Lại có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{I}_{01}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{Z}_{1}}} \\
{{I}_{02}}=\dfrac{{{U}_{0}}}{{{Z}_{2}}} \\
\end{array}\Rightarrow \dfrac{{{I}_{01}}}{{{I}_{02}}}=\dfrac{{{Z}_{2}}}{{{Z}_{1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right.\Rightarrow {{I}_{02}}={{I}_{0}}=3A$
Khi K mở thì mạch R, r, L, C nối tiếp Công suất mạch cực đại là:
${{P}_{\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\left| {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right|}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2\left( {{R}_{0}}+r \right)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}P\Rightarrow {{Z}_{L}}=2{{Z}_{C}}$
Công suất trên R cực đại:
${{P}_{R\max }}=\dfrac{{{U}^{2}}}{2R}=\dfrac{2P}{3}\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow r=\dfrac{{{Z}_{C}}}{\sqrt{3}}$
Thay các giá trị tìm được vào tính hệ số công suất cuộn dây:
$\cos {{\varphi }_{d}}=\dfrac{r}{\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{13}}$
Đáp án D.