Google
Câu hỏi: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m, đầu trên lò xo cố định, đầu dưới gắn vật nhỏ có khối lượng 400g. Kích thích để con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương trình thẳng đứng, chọn mốc thế năng trùng với vị trí cân bằng của vật. Tại thời điểm t (s), con lắc có thế năng 356mJ, tại thời điểm t + 0,05(s) con lắc có động năng 288mJ, cơ năng của con lắc không lớn hơn 1J. Lấy
π2 =10. Trong 1 chu kì dao động, khoảng thời gian lò xo nén là
A. $\dfrac{1}{3}s$
B. $\dfrac{2}{15}s$
C. $\dfrac{3}{10}s$
D. $\dfrac{4}{15}s$
π2 =10. Trong 1 chu kì dao động, khoảng thời gian lò xo nén là
A. $\dfrac{1}{3}s$
B. $\dfrac{2}{15}s$
C. $\dfrac{3}{10}s$
D. $\dfrac{4}{15}s$
Phương pháp:
+ Sử dụng biểu thức tính chu kì: $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$
+ Sử dụng biểu thức tính cơ năng: $\text{W}=\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}={{\text{W}}_{t}}+{{\text{W}}_{d}}$
+ Sử dụng biểu thức tính độ dãn của lò xo tại VTCB: $\Delta l=\dfrac{mg}{k}$
+ Sử dụng biểu thức tính thời gian lò xo nén trong một chu kì: ${{t}_{\text{nen }\!\!~\!\!}}=\dfrac{2\alpha }{\omega }$ với $\cos \alpha =\dfrac{\Delta {{l}_{0}}}{A}$
Cách giải:
+ Chu kì dao động $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}=0,4\text{s}$
+ Tại thời điểm t: ${{x}_{1}}=A\cos \varphi \Rightarrow {{W}_{{{t}_{1}}}}=\dfrac{kx_{1}^{2}}{2}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}\varphi =0,256J$ $\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}\dfrac{1+\cos 2\varphi }{2}=0,256J$ (1)
+ Tại thời điểm $t+0,05s=t+\dfrac{T}{8}:$
${{x}_{2}}=A\cos \left(\varphi +\dfrac{\pi }{4} \right)\Rightarrow {{W}_{{{t}_{2}}}}=W-{{W}_{{{d}_{2}}}}=\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}-{{W}_{{{d}_{2}}}}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}\left(\varphi +\dfrac{\pi }{4} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\left(\cos \varphi .\cos \dfrac{\pi }{4}-\sin \varphi .\sin \dfrac{\pi }{4} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}\dfrac{1}{2}{{(\cos \varphi -\sin \varphi)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{4}(1-\sin 2\varphi)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{k{{\text{A}}^{2}}}{4}(1+\cos 2\varphi)=0,256 \\
\dfrac{k{{\text{A}}^{2}}}{4}(1+\sin 2\varphi)=0,288 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \dfrac{1+\sin 2\varphi }{1+\cos 2\varphi }=\dfrac{0,288}{0,256}=\dfrac{9}{8}$
$\Rightarrow 1+9\cos 2\varphi =8\sin 2\varphi \Leftrightarrow {{(1+9\cos 2\varphi)}^{2}}={{(8\sin 2\varphi)}^{2}}=64\left(1-{{\cos }^{2}}2\varphi \right)$
$\Leftrightarrow 145{{\cos }^{2}}2\varphi +18\cos 2\varphi -63=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\cos 2\varphi =\dfrac{3}{5}\Rightarrow \text{W}=0,32J(\text{tm}) \\
\cos 2\varphi =\dfrac{-21}{29}\Rightarrow \text{W}=1,856(loa\ddot{i}i) \\
\end{array} \right.$
Với $\text{W}=0,32\text{J}=\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}\Rightarrow A=0,08\text{m}$
Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:$$ $\Delta {{l}_{0}}=\frac{mg}{k}=0,04m$
Thời gian lò xo nén trong một chu kì:
${{t}_{nen}}=\frac{2\alpha }{\omega }$ với $\cos \alpha =\frac{\Delta {{l}_{0}}}{A}=\frac{0,04}{0,08}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}\Rightarrow {{t}_{nen}}=\frac{2\frac{\pi }{3}}{5\pi }=\frac{2}{15}s$
+ Sử dụng biểu thức tính chu kì: $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$
+ Sử dụng biểu thức tính cơ năng: $\text{W}=\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}={{\text{W}}_{t}}+{{\text{W}}_{d}}$
+ Sử dụng biểu thức tính độ dãn của lò xo tại VTCB: $\Delta l=\dfrac{mg}{k}$
+ Sử dụng biểu thức tính thời gian lò xo nén trong một chu kì: ${{t}_{\text{nen }\!\!~\!\!}}=\dfrac{2\alpha }{\omega }$ với $\cos \alpha =\dfrac{\Delta {{l}_{0}}}{A}$
Cách giải:
+ Chu kì dao động $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}=0,4\text{s}$
+ Tại thời điểm t: ${{x}_{1}}=A\cos \varphi \Rightarrow {{W}_{{{t}_{1}}}}=\dfrac{kx_{1}^{2}}{2}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}\varphi =0,256J$ $\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}\dfrac{1+\cos 2\varphi }{2}=0,256J$ (1)
+ Tại thời điểm $t+0,05s=t+\dfrac{T}{8}:$
${{x}_{2}}=A\cos \left(\varphi +\dfrac{\pi }{4} \right)\Rightarrow {{W}_{{{t}_{2}}}}=W-{{W}_{{{d}_{2}}}}=\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}-{{W}_{{{d}_{2}}}}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\cos }^{2}}\left(\varphi +\dfrac{\pi }{4} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\left(\cos \varphi .\cos \dfrac{\pi }{4}-\sin \varphi .\sin \dfrac{\pi }{4} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}\dfrac{1}{2}{{(\cos \varphi -\sin \varphi)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{4}(1-\sin 2\varphi)$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{k{{\text{A}}^{2}}}{4}(1+\cos 2\varphi)=0,256 \\
\dfrac{k{{\text{A}}^{2}}}{4}(1+\sin 2\varphi)=0,288 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \dfrac{1+\sin 2\varphi }{1+\cos 2\varphi }=\dfrac{0,288}{0,256}=\dfrac{9}{8}$
$\Rightarrow 1+9\cos 2\varphi =8\sin 2\varphi \Leftrightarrow {{(1+9\cos 2\varphi)}^{2}}={{(8\sin 2\varphi)}^{2}}=64\left(1-{{\cos }^{2}}2\varphi \right)$
$\Leftrightarrow 145{{\cos }^{2}}2\varphi +18\cos 2\varphi -63=0$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\cos 2\varphi =\dfrac{3}{5}\Rightarrow \text{W}=0,32J(\text{tm}) \\
\cos 2\varphi =\dfrac{-21}{29}\Rightarrow \text{W}=1,856(loa\ddot{i}i) \\
\end{array} \right.$
Với $\text{W}=0,32\text{J}=\dfrac{1}{2}k{{\text{A}}^{2}}\Rightarrow A=0,08\text{m}$
Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng:$$ $\Delta {{l}_{0}}=\frac{mg}{k}=0,04m$
Thời gian lò xo nén trong một chu kì:
${{t}_{nen}}=\frac{2\alpha }{\omega }$ với $\cos \alpha =\frac{\Delta {{l}_{0}}}{A}=\frac{0,04}{0,08}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{3}\Rightarrow {{t}_{nen}}=\frac{2\frac{\pi }{3}}{5\pi }=\frac{2}{15}s$
Đáp án B.