Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch xoay chiều AB nối tiếp gồm: AM chứa biến trở R, đoạn mạch MN chứa r, đoạn NP chứa cuộn cảm thuần, đoạn PB chứa tụ điện có điện dung biến thiên. Ban đầu thay đổi tụ điện sao cho UAP không phụ thuộc vào biến trở R. Giữ nguyên giá trị điện dung đó và thay đổi biến trở. Khi ${{\text{u}}_{\text{AP}}}$ lệch pha cực đại so với ${{\text{u}}_{\text{AB}}}$ thì ${{\text{U}}_{\text{PB}}}={{\text{U}}_{1}}.$ Khi tích $\left({{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}} \right)$ cực đại thì ${{\text{U}}_{\text{AM}}}={{\text{U}}_{2}}.$ Biết rằng ${{\text{U}}_{1}}=2.(\sqrt{6}+\sqrt{3}){{\text{U}}_{2}}.$ Độ lệch pha cực đại giữa uAP và uAB gần nhất với giá trị nào?
A. $\dfrac{4\pi }{7}.$
B. $\dfrac{6\pi }{7}.$
C. $\dfrac{3\pi }{7}.$
D. $\dfrac{5\pi }{7}.$
A. $\dfrac{4\pi }{7}.$
B. $\dfrac{6\pi }{7}.$
C. $\dfrac{3\pi }{7}.$
D. $\dfrac{5\pi }{7}.$
Phương pháp:
Điện áp hiệu dụng: U = I. Z
Sử dụng giản đồ vecto
Bất đẳng thức Cô – si: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra ⇔ a = b
Cách giải:
Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AP là:
${{U}_{AP}}=\dfrac{U\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$
Để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AP không phụ thuộc vào R, ta có:
${{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+\text{Z}_{\text{L}}^{2}={{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow Z_{L}^{2}={{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}\Rightarrow {{Z}_{C}}=2{{Z}_{L}}$
Ta có giản đồ vecto:
Từ giản đồ vecto, ta thấy góc lệch giữa ${{u}_{\text{AP}}}$ và ${{\text{u}}_{\text{AB}}}$ là:
$\tan (2\alpha)=\dfrac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }=\dfrac{2.\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r}}{1-{{\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r} \right)}^{2}}}$
${{(\tan 2\alpha)}_{\max }}\Rightarrow {{(2\alpha)}_{\max }}\Rightarrow {{\alpha }_{\max }}\Rightarrow {{(\tan \alpha)}_{\max }}\Rightarrow {{\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r} \right)}_{\max }}\Rightarrow {{(R+r)}_{\min }}\Rightarrow \text{R}=0$
Khi đó ta có: ${{\text{U}}_{1}}={{\text{U}}_{\text{BP}}}={{\text{U}}_{\text{C}}}=\dfrac{\text{U}.{{\text{Z}}_{\text{C}}}}{\sqrt{{{\text{r}}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\text{U}. 2{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\sqrt{{{\text{r}}^{2}}+\text{Z}_{\text{L}}^{2}}}$
Ta có tích
${{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}}=\dfrac{\text{U}\text{.}(\text{R}+\text{r})}{\sqrt{{{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}}\cdot \dfrac{\text{U}\text{.}{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\sqrt{{{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}}$
$={{U}^{2}}.\dfrac{{{Z}_{L}}.(R+r)}{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}={{U}^{2}}.{{Z}_{L}}.\dfrac{1}{(R+r)+\dfrac{{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R+r}}$
Đặt $x=R+r; f(x)=x+\dfrac{{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{x}$ $\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}}={{\text{U}}^{2}}.{{\text{Z}}_{\text{L}}}.\dfrac{1}{\text{f}(\text{x})}$
Để tích ${{\left({{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}} \right)}_{\max }}\Rightarrow \text{f}{{(\text{x})}_{\min }}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\text{x}+\dfrac{{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}{\text{x}}\ge 2\sqrt{\text{x}.\dfrac{{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}{\text{x}}=2\left| {{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right|}$
$\text{f}{{(\text{x})}_{\min }}\Leftrightarrow \text{x}=\dfrac{{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}{\text{x}}$ $\Rightarrow {{\text{x}}^{2}}={{(\text{R}+\text{r})}^{2}}={{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}=\text{Z}_{\text{L}}^{2}\Rightarrow \text{R}={{\text{Z}}_{\text{L}}}-\text{r}$
Khi đó ta có: ${{U}_{2}}={{U}_{AM}}={{U}_{R}}=\dfrac{U. R}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\dfrac{U.\left({{Z}_{L}}-r \right)}{\sqrt{2Z_{L}^{2}}}=\dfrac{U.\left({{Z}_{L}}-r \right)}{\sqrt{2}{{Z}_{L}}}$
Theo đề bài ta có:
${{U}_{1}}=2.(\sqrt{6}+\sqrt{3}){{U}_{2}}\Rightarrow \dfrac{U. 2{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=2.(\sqrt{6}+\sqrt{3}).\dfrac{U.\left({{Z}_{L}}-r \right)}{\sqrt{2}{{Z}_{L}}}$
$\Rightarrow \sqrt{2}Z_{L}^{2}=(\sqrt{6}+\sqrt{3}).\left({{Z}_{L}}-r \right).\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}$
$\Rightarrow Z_{L}^{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\left({{Z}_{L}}-r \right).\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{r} \right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{r}-1 \right).\sqrt{1+\dfrac{Z_{L}^{2}}{{{r}^{2}}}}$ (1)
Đặt $\tan \alpha =\dfrac{{{Z}_{L}}}{r},$ thay vào phương trình (1), ta có:
${{\text{x}}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(\text{x}-1)\sqrt{1+{{\text{x}}^{2}}}\Rightarrow \text{x}=\tan \alpha \approx 1.377$
$\Rightarrow \alpha \approx {{54}^{0}}\Rightarrow 2\alpha ={{108}^{0}}$
Góc 1080 có giá trị gần nhất với góc $\dfrac{4\pi }{7}$
Điện áp hiệu dụng: U = I. Z
Sử dụng giản đồ vecto
Bất đẳng thức Cô – si: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ (dấu "=" xảy ra ⇔ a = b
Cách giải:
Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AP là:
${{U}_{AP}}=\dfrac{U\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$
Để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AP không phụ thuộc vào R, ta có:
${{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+\text{Z}_{\text{L}}^{2}={{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow Z_{L}^{2}={{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}\Rightarrow {{Z}_{C}}=2{{Z}_{L}}$
Ta có giản đồ vecto:
Từ giản đồ vecto, ta thấy góc lệch giữa ${{u}_{\text{AP}}}$ và ${{\text{u}}_{\text{AB}}}$ là:
$\tan (2\alpha)=\dfrac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }=\dfrac{2.\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r}}{1-{{\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r} \right)}^{2}}}$
${{(\tan 2\alpha)}_{\max }}\Rightarrow {{(2\alpha)}_{\max }}\Rightarrow {{\alpha }_{\max }}\Rightarrow {{(\tan \alpha)}_{\max }}\Rightarrow {{\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{R+r} \right)}_{\max }}\Rightarrow {{(R+r)}_{\min }}\Rightarrow \text{R}=0$
Khi đó ta có: ${{\text{U}}_{1}}={{\text{U}}_{\text{BP}}}={{\text{U}}_{\text{C}}}=\dfrac{\text{U}.{{\text{Z}}_{\text{C}}}}{\sqrt{{{\text{r}}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\text{U}. 2{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\sqrt{{{\text{r}}^{2}}+\text{Z}_{\text{L}}^{2}}}$
Ta có tích
${{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}}=\dfrac{\text{U}\text{.}(\text{R}+\text{r})}{\sqrt{{{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}}\cdot \dfrac{\text{U}\text{.}{{\text{Z}}_{\text{L}}}}{\sqrt{{{(\text{R}+\text{r})}^{2}}+{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}}$
$={{U}^{2}}.\dfrac{{{Z}_{L}}.(R+r)}{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}={{U}^{2}}.{{Z}_{L}}.\dfrac{1}{(R+r)+\dfrac{{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{R+r}}$
Đặt $x=R+r; f(x)=x+\dfrac{{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{x}$ $\Rightarrow {{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}}={{\text{U}}^{2}}.{{\text{Z}}_{\text{L}}}.\dfrac{1}{\text{f}(\text{x})}$
Để tích ${{\left({{\text{U}}_{\text{AN}}}.{{\text{U}}_{\text{NP}}} \right)}_{\max }}\Rightarrow \text{f}{{(\text{x})}_{\min }}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:
$\text{x}+\dfrac{{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}{\text{x}}\ge 2\sqrt{\text{x}.\dfrac{{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}{\text{x}}=2\left| {{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right|}$
$\text{f}{{(\text{x})}_{\min }}\Leftrightarrow \text{x}=\dfrac{{{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}}{\text{x}}$ $\Rightarrow {{\text{x}}^{2}}={{(\text{R}+\text{r})}^{2}}={{\left({{\text{Z}}_{\text{L}}}-{{\text{Z}}_{\text{C}}} \right)}^{2}}=\text{Z}_{\text{L}}^{2}\Rightarrow \text{R}={{\text{Z}}_{\text{L}}}-\text{r}$
Khi đó ta có: ${{U}_{2}}={{U}_{AM}}={{U}_{R}}=\dfrac{U. R}{\sqrt{{{(R+r)}^{2}}+{{\left({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\dfrac{U.\left({{Z}_{L}}-r \right)}{\sqrt{2Z_{L}^{2}}}=\dfrac{U.\left({{Z}_{L}}-r \right)}{\sqrt{2}{{Z}_{L}}}$
Theo đề bài ta có:
${{U}_{1}}=2.(\sqrt{6}+\sqrt{3}){{U}_{2}}\Rightarrow \dfrac{U. 2{{Z}_{L}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}}=2.(\sqrt{6}+\sqrt{3}).\dfrac{U.\left({{Z}_{L}}-r \right)}{\sqrt{2}{{Z}_{L}}}$
$\Rightarrow \sqrt{2}Z_{L}^{2}=(\sqrt{6}+\sqrt{3}).\left({{Z}_{L}}-r \right).\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}$
$\Rightarrow Z_{L}^{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\left({{Z}_{L}}-r \right).\sqrt{{{r}^{2}}+Z_{L}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{r} \right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\left(\dfrac{{{Z}_{L}}}{r}-1 \right).\sqrt{1+\dfrac{Z_{L}^{2}}{{{r}^{2}}}}$ (1)
Đặt $\tan \alpha =\dfrac{{{Z}_{L}}}{r},$ thay vào phương trình (1), ta có:
${{\text{x}}^{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(\text{x}-1)\sqrt{1+{{\text{x}}^{2}}}\Rightarrow \text{x}=\tan \alpha \approx 1.377$
$\Rightarrow \alpha \approx {{54}^{0}}\Rightarrow 2\alpha ={{108}^{0}}$
Góc 1080 có giá trị gần nhất với góc $\dfrac{4\pi }{7}$
Đáp án A.