Google
Câu hỏi:
(A) (-2; -3; 4) (B) (3; 4; 2)
(C) (2; 3; 4) (D) (-2; -3; -4)
Lời giải chi tiết:
MNPQ là hình bình hành
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 - 2 = 0 - {x_Q} \hfill \cr
- 3 - 0 = 0 - {y_Q} \hfill \cr
0 - 0 = 4 - {z_Q} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_Q} = 2 \hfill \cr
{y_Q} = 3 \hfill \cr
{z_Q} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy Q(2; 3; 4).
Chọn (C).
(A) Tam giác cân đỉnh A;
(B) Tam giác vuông đỉnh A;
(C) Tam giác đều;
(D) Không phải như (A), (B), (C).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{{\left({1 - 1} \right)}^2} + {{\left({0 - 2} \right)}^2} + {{\left({-1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{{\left({0 - 1} \right)}^2} + {{\left({ - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left({2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \cr
& BC = \sqrt {{{\left({0 - 1} \right)}^2} + {{\left({ - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left({2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} \cr} \)
\(AC>BC>AB\)
Chọn (D)
(A) \(\sqrt {26} \) (B) \({{\sqrt {26} } \over 2}\)
(C) \({{\sqrt {26} } \over 3}\) (D) 26
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; 2; 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left({1; 1; - 1} \right)\)
Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: \(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over 3}.\)
Chọn (C).
(A) \(2\sqrt {83} \) (B) \(\sqrt {83} \)
(C) 83 (D) \({{\sqrt {83} } \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\) \(= 2\sqrt {83} .\)
Chọn (A).
(A) 1 (B) 2 (C) \({1 \over 3}\) (D) \({1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({ - 1; 1; 0} \right),\overrightarrow {AC} \left({ - 1; 0; 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1 0 \hfill \cr
0 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0 - 1 \hfill \cr
1 - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1 1 \hfill \cr
- 1 0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left({1; 1; 1} \right) \cr
& \overrightarrow {AD} \left({ - 3; 1; - 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.\left({ - 3} \right) + 1.1 + 1.\left({ - 1} \right) = - 3 \cr
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {3 \over 6} = {1 \over 2}. \cr} \)
Chọn D
(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) \({1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({ - 3; 0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} \left({4; 0; - 3} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
0 - 4 \hfill \cr
0 - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4 - 3 \hfill \cr
- 3 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 3 0 \hfill \cr
4 0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left({0; - 25; 0} \right) = - 25\left({0; 1; 0} \right) \cr} \)
Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; 1; 0} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(y + 2 = 0\).
\(\Rightarrow h = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\)
Chọn (A).
(A) \(\left( {{3 \over 2}, - {3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\) (B) \(\left( {{3 \over 2},{3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\)
(C) \(\left( {3; 3; 3} \right)\) (D) \(\left( {3; - 3; 3} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \left( 1 \right)\)
Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 2b - 4c + d = 0 \hfill \cr
9 - 4a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = b = c = {3 \over 2} \hfill \cr
d = 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I\left({{3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).
Chọn (B).
(A) 5 (B) 4 (C) \(\sqrt 5 \) (D) \({5 \over 2}.\)
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).
Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng \(R = II' = \sqrt {{(-3)^2} + {4^2}} = 5.\)
Chọn (A).
(A) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 4;\)
(B) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 1;\)
(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left({y + 1} \right)^2} + {\left({z - 1} \right)^2} = 4;\)
(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 2.\)
Lời giải chi tiết:
Mp(Oyz) có phương trình x = 0.
Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là \(R = {{\left| 2 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 4\)
Chọn (A).
(A) \(x + 2y + 2z - 3 = 0\)
(B) \(x - 2y + 3z - 3 = 0;\)
(C) \(x + 2y + 2z - 9 = 0;\)
(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\).
Lời giải chi tiết:
Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; 2; 2} \right).\)
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(x + 2y + 2z - 9 = 0\)
Chọn (C).
(A) \(x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\)
(B) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0;\)
(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\)
(D) \(12x + 6y + 4z - 12 = 0.\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Mp(ABC) \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over 3} = 1\)
Chọn (C).
(A) \(4x + 2y - 12z - 17 = 0;\)
(B) \(4x + 2y + 12z - 17 = 0;\)
(C) \(4x - 2y - 12z - 17 = 0;\)
(D) \(4x - 2y + 12z + 17 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1; 6} \right).\)
Trung điểm AB là \(I\left( {0;{5 \over 2}; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \) nên có dạng: \( - 2\left( {x - 0} \right) - \left({y - {5 \over 2}} \right) + 6\left({z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 12z - 17 = 0.\)
Chọn (A).
(A) (1; 1; 1) (B) (2; 2; 2)
(C) \(\left( {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right)\) (D) \(\left( { - {1 \over 2}, - {1 \over 2}, - {1 \over 2}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Mp(ABC) đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) cố định.
Chọn (C).
(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);
(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);
(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);
(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).
Lời giải chi tiết:
\(A \in \left( Q \right)\) và (Q) // (P).
Chọn (A).
(A) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 1;\) (B) \(x + {y \over 2} + {z \over 5} = 1;\)
(C) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 0;\) (D) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} + 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(M\left( {1; 0; 0} \right); N\left({0; 2; 0} \right), P\left({0; 0; - 5} \right).\)
Mp(MNP): \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over { - 5}} = 1.\)
Chọn (A).
(A 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Tâm I(1; 1; 1).
\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {{\left| {3 - 2 + 6 + 14} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.\)
Chọn (C).
(A) \(x + y - z - 5 = 0;\)
(B) \(2x - 3y - z - 1 = 0;\)
(C) \(x + 3y - 2z + 1 = 0;\)
(D) \(6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì \(G\left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right) \Rightarrow a = - 3, b = - 9, c = 6.\)
Mp(ABC): \({x \over { - 3}} + {y \over { - 9}} + {z \over 6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)
Chọn (D).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó
\(\eqalign{
& A = \left({0; 0; 0} \right) , E = \left({2; 0; 0} \right) \cr
& D = \left({0; 1; 0} \right) , A' = \left({0; 0; 1} \right) \cr} \)
Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):
\({x \over 2} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\)
Bước 3. Khoảng cách \(d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = {{\left| { - 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Chon A
(A) \(4x - z + 1 = 0\)
(B) \(4x + y - z + 1 = 0\)
(C) \(2x + z - 5 = 0\)
(D) \(y + 4z - 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right]\) với \(\overrightarrow j = \left( {0; 1; 0} \right).\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({ - 1; 1; - 4} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| \matrix{
1 - 4 \hfill \cr
1 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4 - 1 \hfill \cr
0 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1 1 \hfill \cr
0 1 \hfill \cr} \right|} \right) = \left({4; 0; - 1} \right) \cr} \)
Chon A
(A) \(2x + 3y = 0;\) (B) \(2x - 3y = 0;\)
(C) \(3x + 2y = 0;\) (D) \(3x - 2y + z = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right]\) với \(\overrightarrow k = \left( {0; 0; 1} \right).\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} \left({2; - 3; 5} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 3 5 \hfill \cr
0 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
5 2 \hfill \cr
1 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2 - 3 \hfill \cr
0 0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left({ - 3; - 2; 0} \right) \cr} \)
Chọn C
(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\) (C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)
Lời giải chi tiết:
mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; 0} \right)\).
\(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\)
Chọn (B).
(A) \(23x + 17y - z + 14 = 0\)
(B) \(23x - 17y - z + 14 = 0;\)
(C) \(23x + 17y + z - 60 = 0;\)
(D) \(23x - 17y + z - 14 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3,4,1} \right)\) và đi qua \(M\left( {0,1, - 3} \right).\)
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].\)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(23x - 17y - z + 14 = 0\)
Chọn (B).
\({d_1}:{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 3} \over 3} ; {d_2}:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) \({d_1},{d_2}\) cắt nhau; (B) \({d_1},{d_2}\) trùng nhau;
(C) \({d_1}//{d_2}\); (D) \({d_1},{d_2}\) chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
\({d_1},{d_2}\) có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1,2,3} \right)\) và \(A\left( {1,0,3} \right) \in {d_1},\) nhưng \(A \notin {d_2}.\) Vậy \({d_1}\) // \({d_2}\)
Chọn (C).
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 2 - 3t. \hfill \cr} \right.\) Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha \right)\) là:
(A) A(3; 0; 4) (B) \(A\left( {3; - 4; 0} \right)\)
(C) \(A\left( { - 3; 0; 4} \right)\) (D) \(A\left( {3; 0; - 4} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Thay x, y, z từ d vào \(\left( \alpha \right)\) ta có: \(1 + t + 3\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)
Vậy \(A\left( {3,0, - 4} \right).\)
Chọn (D).
\(d:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 + t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 2 - 2t \hfill \cr
y = - t \hfill \cr
z = 3 + t ; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 4 - t ; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 4 + t ; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + t \hfill \cr
z = 2 + t . \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
d đi qua \(M\left( {4, - 1,4} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1; 1} \right).\)
Chọn (B).
\(\left( I \right) \left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t ; \hfill \cr} \right. \left({II} \right) {{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}}; \left({III} \right) \left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 4 + 5t . \hfill \cr} \right.\)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;
(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;
(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;
(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1, - 1,5} \right).\)
Chọn (D).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là
\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr
{y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr
{z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.\)
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; 1; 0} \right).\)
Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 3t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 2. \hfill \cr} \right.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0, - 1, - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left({0, - 2,1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left({ - 3,0,0} \right).\)
Chọn (C).
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 1 - 3t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của d là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - t ; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - t ; \hfill \cr} \right.\)
(C) \({x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { - 1}};\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = t . \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1,0,0} \right).\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1, - 1, - 3} \right).\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0,3, - 1} \right).\)
Chọn (D).
\(d:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 4 + 2t \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0.\) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
(A) d song song với (P); (B) d cắt (P);
(C) d vuông góc với (P); (D) d nằm trên (P).
Lời giải chi tiết:
\(A\left( {3, - 1,4} \right), B\left({ - 1,0,2} \right) \in d\) và \(A, B \in \left( P \right).\)
Chọn (D).
\(d:\left\{ \matrix{
x = 6 - 4t \hfill \cr
y = - 2 - t \hfill \cr
z = - 1 + 2t . \hfill \cr} \right.\)
Hình chiếu của A trên d có tọa độ là
(A) \(\left( {2; - 3; 1} \right);\) (B) \(\left( {2; - 3; - 1} \right);\)
(C) \((2; 3; 1)\); (D) \(\left( { - 2; 3; 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(H\left( {6 - 4t, - 2 - t, - 1 + 2t} \right)\) là hình chiếu của A trên d. Ta có \(\overrightarrow {AH} \)vuông góc với \(\overrightarrow u = \left( { - 4, - 1,2} \right)\) (là vectơ chỉ phương của d).
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {5 - 4t, - 3 - t, - 2 + 2t} \right).\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow - 4\left( {5 - 4t} \right) + 3 + t + 2\left({ - 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy \(H\left( {2, - 3,1} \right).\)
Chọn (A).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; 1; 0} \right), \overrightarrow {BD} = \left({ - 1; - 1; 2} \right), \overrightarrow {AB} = \left({0; 1; 0} \right).\)
Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2; 2; 2} \right)\).
Bước 3: \(d\left( {AC, BD} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Bài toán trên đúng.
Chọn (A).
(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\)
(C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left({\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \left({\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v - {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 - 1 = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left({\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right). \cr} \)
Chọn (D).
(A) 10 (B) 5;
(C) 8; (D) \(5\sqrt 3 \)
Lời giải chi tiết:
\(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.5.{1 \over 2} = 5.\)
Chọn (B).
(A) \(\left( {{1 \over 2}; 0; 0} \right) , \left({0; - {1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; 1} \right);\)
(B) \(\left( {1; 0; 0} \right) , \left({0;{1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; 1} \right);\)
(C) \(\left( {{1 \over 2}; 0; 0} \right) , \left({0;{1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; 1} \right);\)
(D) \(\left( {{1 \over 2}; 0; 0} \right) , \left({0; - {1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; - 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}, x = z = 0 \Rightarrow y = - {1 \over 3}. \cr
& x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr} \)
Chọn (A).
\(d:\left\{ \matrix{
x = - {9 \over 5} - t \hfill \cr
y = 5t \hfill \cr
z = {7 \over 5} + 3t \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0.\) Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?
(A) \(\left( {5; - 51; 39} \right);\)
(B) \(\left( {10; - 102; - 78} \right);\)
(C) \(\left( { - 5; 51; 39} \right);\)
(D) \(\left( {5; 51; 39} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;
Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),
\(M = \left( {{1 \over 2}; 0; 1} \right), N\left({1;{1 \over 2}; 0} \right), P\left({0; 1;{1 \over 2}} \right).\)
Bước 2: \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1; 1; 1} \right),\overrightarrow {MN} = \left({{1 \over 2};{1 \over 2}; - 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left({ - {1 \over 2}; 1; - {1 \over 2}} \right).\)
Bước 3:
\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC' \bot \left({MNP} \right).\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Bài toán trên giải đúng
chọn A
\(d:\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t ; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2t \hfill \cr
z = t ; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = t ; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t . \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của trục Ox là
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lấy \(P\left( {0, t, 2 - t} \right) \in d\) và \(Q'\left( {t', 0,0} \right) \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}\)
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {t', - t, t - 2} \right),\) d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0,1, - 1} \right).\)
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- t - t + 2 = 0 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right..\)
Vậy \(P\left( {0,1,1} \right), Q\left({0,0,0} \right).\)
PQ có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right..\)
Chọn (D).
(A) \(\left( { - 1; 3; 7} \right);\)
(B) \(\left( {1; - 3; 7} \right);\)
(C) \(\left( {2; - 3; - 2} \right);\)
(D) \(\left( {2; - 1; 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1, - 2, - 3} \right).\)
\(M'\left( {x, y, z} \right)\) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MM'} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z - 1} \over { - 3}} \hfill \cr
{{x + 1} \over 2} - 2{{y - 1} \over 2} - 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 7 \hfill \cr} \right..\)
Chọn (A).
\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr
z = - t . \hfill \cr} \right.\)
Khoảng cách từ A đến d bằng:
(A) \(\sqrt 3 ;\) (B) \(\sqrt {14} ;\)
(C) \(\sqrt 6 ;\) (D) \(\sqrt 8 .\)
Lời giải chi tiết:
d đi qua \(M(1,2,0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2,0, - 1} \right).\)
Khoảng cách từ A đến d bằng \({{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .\)
Chọn (B).
(A) \(6x + 2y + 3z + 6 = 0;\)
(B) \(6x - 2y + 3z + 6 = 0;\)
(C) \(6x - 3y + 2z + 6 = 0;\)
(D) \(6x - 3y - 2z + 6 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\({M_1}\left( { - 1,2,3} \right),{M_2}\left({ - 1, - 2, - 3} \right),{M_3}\left({1,2, - 3} \right); mp\left({{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) qua có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].\)
Chọn (C).
(A) \(6x + 2y + 3z = 0;\)
(B) \(2x + 3y + 6z - 5 = 0;\)
(C) \(6x + 2y + 3z - 55 = 0;\)
(D) \(x + 2y + 2z - 7 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
(S) có tâm \(I\left( {1, - 3,2} \right),\) bán kính R = 7.
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 7.\)
Chọn (C).
(A) 0 ; (B) 1 ;
(C) 2 ; (D) 3.
Lời giải chi tiết:
Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có \(O \in \left( S \right).\)
Chọn (B).
Câu 1
Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; - 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:(A) (-2; -3; 4) (B) (3; 4; 2)
(C) (2; 3; 4) (D) (-2; -3; -4)
Lời giải chi tiết:
MNPQ là hình bình hành
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 - 2 = 0 - {x_Q} \hfill \cr
- 3 - 0 = 0 - {y_Q} \hfill \cr
0 - 0 = 4 - {z_Q} \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_Q} = 2 \hfill \cr
{y_Q} = 3 \hfill \cr
{z_Q} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy Q(2; 3; 4).
Chọn (C).
Câu 2
Cho ba điểm \(A\left( {1; 2; 0} \right) , B\left({1; 0; - 1} \right) , C\left({0; - 1; 2} \right).\) Tam giác ABC là:(A) Tam giác cân đỉnh A;
(B) Tam giác vuông đỉnh A;
(C) Tam giác đều;
(D) Không phải như (A), (B), (C).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& AB = \sqrt {{{\left({1 - 1} \right)}^2} + {{\left({0 - 2} \right)}^2} + {{\left({-1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{{\left({0 - 1} \right)}^2} + {{\left({ - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left({2 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {14} \cr
& BC = \sqrt {{{\left({0 - 1} \right)}^2} + {{\left({ - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left({2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {11} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} \cr} \)
\(AC>BC>AB\)
Chọn (D)
Câu 3
Cho tam giác ABC có A=(1; 0; 1), B=(0; 2; 3), C(2; 1; 0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:(A) \(\sqrt {26} \) (B) \({{\sqrt {26} } \over 2}\)
(C) \({{\sqrt {26} } \over 3}\) (D) 26
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; 2; 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left({1; 1; - 1} \right)\)
Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: \(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over 3}.\)
Chọn (C).
Câu 4
Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là \(\left( {1; 1; 1} \right) ; \left({2; 3; 4} \right) ; \left({6; 5; 2} \right).\) Diện tích hình bình hành đó bằng:(A) \(2\sqrt {83} \) (B) \(\sqrt {83} \)
(C) 83 (D) \({{\sqrt {83} } \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\) \(= 2\sqrt {83} .\)
Chọn (A).
Câu 5
Cho \(A\left( {1; 0; 0} \right) ; B\left({0; 1; 0} \right) ; C\left({0; 0; 1} \right)\) và \(D\left( { - 2; 1; - 1} \right)\). Thể tích của tứ diện ABCD là:(A) 1 (B) 2 (C) \({1 \over 3}\) (D) \({1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({ - 1; 1; 0} \right),\overrightarrow {AC} \left({ - 1; 0; 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
1 0 \hfill \cr
0 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0 - 1 \hfill \cr
1 - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1 1 \hfill \cr
- 1 0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left({1; 1; 1} \right) \cr
& \overrightarrow {AD} \left({ - 3; 1; - 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.\left({ - 3} \right) + 1.1 + 1.\left({ - 1} \right) = - 3 \cr
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {3 \over 6} = {1 \over 2}. \cr} \)
Chọn D
Câu 6
Cho \(A\left( { - 1; - 2; 4} \right) ; B\left({ - 4; - 2; 0} \right) ; C\left({3; - 2; 1} \right)\) và \(D\left( {1; 1; 1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) \({1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({ - 3; 0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} \left({4; 0; - 3} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \matrix{
0 - 4 \hfill \cr
0 - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4 - 3 \hfill \cr
- 3 4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 3 0 \hfill \cr
4 0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left({0; - 25; 0} \right) = - 25\left({0; 1; 0} \right) \cr} \)
Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận \(\overrightarrow n = \left( {0; 1; 0} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(y + 2 = 0\).
\(\Rightarrow h = d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\)
Chọn (A).
Câu 7
Cho bốn điểm \(A\left( {1; 1; 1} \right) , B\left({1; 2; 1} \right) , C\left({1; 1; 2} \right)\) và \(D\left( {2; 2; 1} \right).\) Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:(A) \(\left( {{3 \over 2}, - {3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\) (B) \(\left( {{3 \over 2},{3 \over 2},{3 \over 2}} \right)\)
(C) \(\left( {3; 3; 3} \right)\) (D) \(\left( {3; - 3; 3} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \left( 1 \right)\)
Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 2b - 4c + d = 0 \hfill \cr
9 - 4a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = b = c = {3 \over 2} \hfill \cr
d = 6 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I\left({{3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).
Chọn (B).
Câu 8
Bán kính mặt cầu tâm I(3; 3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:(A) 5 (B) 4 (C) \(\sqrt 5 \) (D) \({5 \over 2}.\)
Lời giải chi tiết:
Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).
Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng \(R = II' = \sqrt {{(-3)^2} + {4^2}} = 5.\)
Chọn (A).
Câu 9
Mặt cầu tâm \(I\left( {2; 1; - 1} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:(A) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 4;\)
(B) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 1;\)
(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left({y + 1} \right)^2} + {\left({z - 1} \right)^2} = 4;\)
(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 2.\)
Lời giải chi tiết:
Mp(Oyz) có phương trình x = 0.
Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là \(R = {{\left| 2 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.\)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y - 1} \right)^2} + {\left({z + 1} \right)^2} = 4\)
Chọn (A).
Câu 10
Cho ba điểm \(A\left( {1; 1; 3} \right), B\left({ - 1; 3; 2} \right)\) và \(C\left( { - 1; 2; 3} \right).\)Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:(A) \(x + 2y + 2z - 3 = 0\)
(B) \(x - 2y + 3z - 3 = 0;\)
(C) \(x + 2y + 2z - 9 = 0;\)
(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\).
Lời giải chi tiết:
Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; 2; 2} \right).\)
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(x + 2y + 2z - 9 = 0\)
Chọn (C).
Câu 11
Cho ba điểm \(A\left( {1; 0; 0} \right), B\left({0; 2; 0} \right), C\left({0; 0; 3} \right).\) Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?(A) \(x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\)
(B) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0;\)
(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\)
(D) \(12x + 6y + 4z - 12 = 0.\)
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Mp(ABC) \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over 3} = 1\)
Chọn (C).
Câu 12
Cho hai điểm \(A\left( {1; 3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 1; 2; 2} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:(A) \(4x + 2y - 12z - 17 = 0;\)
(B) \(4x + 2y + 12z - 17 = 0;\)
(C) \(4x - 2y - 12z - 17 = 0;\)
(D) \(4x - 2y + 12z + 17 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1; 6} \right).\)
Trung điểm AB là \(I\left( {0;{5 \over 2}; - 1} \right)\).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \) nên có dạng: \( - 2\left( {x - 0} \right) - \left({y - {5 \over 2}} \right) + 6\left({z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 2y - 12z - 17 = 0.\)
Chọn (A).
Câu 13
Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 2.\) Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:(A) (1; 1; 1) (B) (2; 2; 2)
(C) \(\left( {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right)\) (D) \(\left( { - {1 \over 2}, - {1 \over 2}, - {1 \over 2}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mp(ABC): \({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)
Mp(ABC) đi qua điểm \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) cố định.
Chọn (C).
Câu 14
Cho điểm \(A\left( { - 1; 2; 1} \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 4y - 6z - 5 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y - 3z = 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);
(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);
(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);
(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).
Lời giải chi tiết:
\(A \in \left( Q \right)\) và (Q) // (P).
Chọn (A).
Câu 15
Cho điểm \(A\left( {1; 2; - 5} \right)\). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:(A) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 1;\) (B) \(x + {y \over 2} + {z \over 5} = 1;\)
(C) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} = 0;\) (D) \(x + {y \over 2} - {z \over 5} + 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(M\left( {1; 0; 0} \right); N\left({0; 2; 0} \right), P\left({0; 0; - 5} \right).\)
Mp(MNP): \({x \over 1} + {y \over 2} + {z \over { - 5}} = 1.\)
Chọn (A).
Câu 16
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left({x + y + z} \right) - 22 = 0\) và mặt phẳng (P): \(3x - 2y + 6z + 14 = 0.\) Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:(A 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4.
Lời giải chi tiết:
Tâm I(1; 1; 1).
\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = {{\left| {3 - 2 + 6 + 14} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.\)
Chọn (C).
Câu 17
Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là \(G\left( { - 1; - 3; 2} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) là:(A) \(x + y - z - 5 = 0;\)
(B) \(2x - 3y - z - 1 = 0;\)
(C) \(x + 3y - 2z + 1 = 0;\)
(D) \(6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì \(G\left( {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right) \Rightarrow a = - 3, b = - 9, c = 6.\)
Mp(ABC): \({x \over { - 3}} + {y \over { - 9}} + {z \over 6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)
Chọn (D).
Câu 18
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó
\(\eqalign{
& A = \left({0; 0; 0} \right) , E = \left({2; 0; 0} \right) \cr
& D = \left({0; 1; 0} \right) , A' = \left({0; 0; 1} \right) \cr} \)
Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):
\({x \over 2} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\)
Bước 3. Khoảng cách \(d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = {{\left| { - 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Chon A
Câu 19
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; 5} \right)\) và \(B\left( {0; 0; 1} \right)\). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:(A) \(4x - z + 1 = 0\)
(B) \(4x + y - z + 1 = 0\)
(C) \(2x + z - 5 = 0\)
(D) \(y + 4z - 1 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right]\) với \(\overrightarrow j = \left( {0; 1; 0} \right).\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left({ - 1; 1; - 4} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| \matrix{
1 - 4 \hfill \cr
1 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4 - 1 \hfill \cr
0 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1 1 \hfill \cr
0 1 \hfill \cr} \right|} \right) = \left({4; 0; - 1} \right) \cr} \)
Chon A
Câu 20
Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm \(A\left( {2; - 3; 5} \right)\) có phương trình là:(A) \(2x + 3y = 0;\) (B) \(2x - 3y = 0;\)
(C) \(3x + 2y = 0;\) (D) \(3x - 2y + z = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right]\) với \(\overrightarrow k = \left( {0; 0; 1} \right).\)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} \left({2; - 3; 5} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| \matrix{
- 3 5 \hfill \cr
0 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
5 2 \hfill \cr
1 0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2 - 3 \hfill \cr
0 0 \hfill \cr} \right|} \right) = \left({ - 3; - 2; 0} \right) \cr} \)
Chọn C
Câu 21
Cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x - y - 1 = 0.\) Điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\) (C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)
Lời giải chi tiết:
mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\)
Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; 0} \right)\).
\(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\)
Chọn (B).
Câu 22
Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = z + 3\). Phương trình mặt phẳng (A, d) là:(A) \(23x + 17y - z + 14 = 0\)
(B) \(23x - 17y - z + 14 = 0;\)
(C) \(23x + 17y + z - 60 = 0;\)
(D) \(23x - 17y + z - 14 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3,4,1} \right)\) và đi qua \(M\left( {0,1, - 3} \right).\)
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].\)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(23x - 17y - z + 14 = 0\)
Chọn (B).
Câu 23
Cho hai đường thẳng\({d_1}:{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 3} \over 3} ; {d_2}:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) \({d_1},{d_2}\) cắt nhau; (B) \({d_1},{d_2}\) trùng nhau;
(C) \({d_1}//{d_2}\); (D) \({d_1},{d_2}\) chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
\({d_1},{d_2}\) có cùng vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1,2,3} \right)\) và \(A\left( {1,0,3} \right) \in {d_1},\) nhưng \(A \notin {d_2}.\) Vậy \({d_1}\) // \({d_2}\)
Chọn (C).
Câu 24
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 3y + z + 1 = 0\) và đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 2 - 3t. \hfill \cr} \right.\) Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha \right)\) là:
(A) A(3; 0; 4) (B) \(A\left( {3; - 4; 0} \right)\)
(C) \(A\left( { - 3; 0; 4} \right)\) (D) \(A\left( {3; 0; - 4} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Thay x, y, z từ d vào \(\left( \alpha \right)\) ta có: \(1 + t + 3\left( {2 - t} \right) + 2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\)
Vậy \(A\left( {3,0, - 4} \right).\)
Chọn (D).
Câu 25
Cho đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 + t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 2 - 2t \hfill \cr
y = - t \hfill \cr
z = 3 + t ; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 4 - t ; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 4 + t ; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + t \hfill \cr
z = 2 + t . \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
d đi qua \(M\left( {4, - 1,4} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1; 1} \right).\)
Chọn (B).
Câu 26
Cho hai điểm \(A\left( {2; 3; - 1} \right), B\left({1; 2; 4} \right)\) và ba phương trình sau:\(\left( I \right) \left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t ; \hfill \cr} \right. \left({II} \right) {{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}}; \left({III} \right) \left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 4 + 5t . \hfill \cr} \right.\)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;
(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;
(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;
(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1, - 1,5} \right).\)
Chọn (D).
Câu 27
Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là
\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr
{y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr
{z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.\)
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; 1; 0} \right).\)
Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 - 3t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 2. \hfill \cr} \right.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0, - 1, - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left({0, - 2,1} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left({ - 3,0,0} \right).\)
Chọn (C).
Câu 28
Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 1 - 3t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình của d là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - t ; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - t ; \hfill \cr} \right.\)
(C) \({x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { - 1}};\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = t . \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1,0,0} \right).\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1, - 1, - 3} \right).\)
d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0,3, - 1} \right).\)
Chọn (D).
Câu 29
Cho đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 4 + 2t \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0.\) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
(A) d song song với (P); (B) d cắt (P);
(C) d vuông góc với (P); (D) d nằm trên (P).
Lời giải chi tiết:
\(A\left( {3, - 1,4} \right), B\left({ - 1,0,2} \right) \in d\) và \(A, B \in \left( P \right).\)
Chọn (D).
Câu 30
Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = 6 - 4t \hfill \cr
y = - 2 - t \hfill \cr
z = - 1 + 2t . \hfill \cr} \right.\)
Hình chiếu của A trên d có tọa độ là
(A) \(\left( {2; - 3; 1} \right);\) (B) \(\left( {2; - 3; - 1} \right);\)
(C) \((2; 3; 1)\); (D) \(\left( { - 2; 3; 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(H\left( {6 - 4t, - 2 - t, - 1 + 2t} \right)\) là hình chiếu của A trên d. Ta có \(\overrightarrow {AH} \)vuông góc với \(\overrightarrow u = \left( { - 4, - 1,2} \right)\) (là vectơ chỉ phương của d).
Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {5 - 4t, - 3 - t, - 2 + 2t} \right).\)
\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow - 4\left( {5 - 4t} \right) + 3 + t + 2\left({ - 2 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy \(H\left( {2, - 3,1} \right).\)
Chọn (A).
Câu 31
Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; 1; 0} \right), \overrightarrow {BD} = \left({ - 1; - 1; 2} \right), \overrightarrow {AB} = \left({0; 1; 0} \right).\)
Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2; 2; 2} \right)\).
Bước 3: \(d\left( {AC, BD} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Bài toán trên đúng.
Chọn (A).
Câu 32
Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 3}.\) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \) bằng:(A) \({30^0}\) (B) \({45^0}\)
(C) \({60^0}\) (D) \({90^0}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left({\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \left({\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v - {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 - 1 = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left({\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right). \cr} \)
Chọn (D).
Câu 33
Cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5,\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {\pi \over 6}.\) Độ dài vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) bằng:(A) 10 (B) 5;
(C) 8; (D) \(5\sqrt 3 \)
Lời giải chi tiết:
\(\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 2.5.{1 \over 2} = 5.\)
Chọn (B).
Câu 34
Mặt phẳng \(2x - 3y + z - 1 = 0\) cắt các trục tọa độ tại các điểm:(A) \(\left( {{1 \over 2}; 0; 0} \right) , \left({0; - {1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; 1} \right);\)
(B) \(\left( {1; 0; 0} \right) , \left({0;{1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; 1} \right);\)
(C) \(\left( {{1 \over 2}; 0; 0} \right) , \left({0;{1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; 1} \right);\)
(D) \(\left( {{1 \over 2}; 0; 0} \right) , \left({0; - {1 \over 3}; 0} \right) , \left({0; 0; - 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}, x = z = 0 \Rightarrow y = - {1 \over 3}. \cr
& x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr} \)
Chọn (A).
Câu 35
Cho đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = - {9 \over 5} - t \hfill \cr
y = 5t \hfill \cr
z = {7 \over 5} + 3t \hfill \cr} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0.\) Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?
(A) \(\left( {5; - 51; 39} \right);\)
(B) \(\left( {10; - 102; - 78} \right);\)
(C) \(\left( { - 5; 51; 39} \right);\)
(D) \(\left( {5; 51; 39} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).
Câu 36
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng \(AC' \bot \left( {MNP} \right).\)Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;
Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),
\(M = \left( {{1 \over 2}; 0; 1} \right), N\left({1;{1 \over 2}; 0} \right), P\left({0; 1;{1 \over 2}} \right).\)
Bước 2: \(\overrightarrow {AC'} = \left( {1; 1; 1} \right),\overrightarrow {MN} = \left({{1 \over 2};{1 \over 2}; - 1} \right),\overrightarrow {MP} = \left({ - {1 \over 2}; 1; - {1 \over 2}} \right).\)
Bước 3:
\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC' \bot \left({MNP} \right).\)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Lời giải chi tiết:
Bài toán trên giải đúng
chọn A
Câu 37
Cho đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A)
\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t ; \hfill \cr} \right.\)
(B)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2t \hfill \cr
z = t ; \hfill \cr} \right.\)
(C)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = t ; \hfill \cr} \right.\)
(D)
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t . \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của trục Ox là
\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lấy \(P\left( {0, t, 2 - t} \right) \in d\) và \(Q'\left( {t', 0,0} \right) \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}\)
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {t', - t, t - 2} \right),\) d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0,1, - 1} \right).\)
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- t - t + 2 = 0 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right..\)
Vậy \(P\left( {0,1,1} \right), Q\left({0,0,0} \right).\)
PQ có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right..\)
Chọn (D).
Câu 38
Cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 3z + 14 = 0\) và điểm \(M\left( {1; - 1; 1} \right)\). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là(A) \(\left( { - 1; 3; 7} \right);\)
(B) \(\left( {1; - 3; 7} \right);\)
(C) \(\left( {2; - 3; - 2} \right);\)
(D) \(\left( {2; - 1; 1} \right).\)
Lời giải chi tiết:
(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1, - 2, - 3} \right).\)
\(M'\left( {x, y, z} \right)\) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MM'} \) cùng phương với \(\overrightarrow n \) và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z - 1} \over { - 3}} \hfill \cr
{{x + 1} \over 2} - 2{{y - 1} \over 2} - 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 7 \hfill \cr} \right..\)
Chọn (A).
Câu 39
Cho điểm \(A\left( {0; - 1; 3} \right)\) và đường thẳng\(d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr
z = - t . \hfill \cr} \right.\)
Khoảng cách từ A đến d bằng:
(A) \(\sqrt 3 ;\) (B) \(\sqrt {14} ;\)
(C) \(\sqrt 6 ;\) (D) \(\sqrt 8 .\)
Lời giải chi tiết:
d đi qua \(M(1,2,0)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2,0, - 1} \right).\)
Khoảng cách từ A đến d bằng \({{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .\)
Chọn (B).
Câu 40
Cho điểm \(M\left( { - 1; 2; - 3} \right).\) Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình \(mp\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:(A) \(6x + 2y + 3z + 6 = 0;\)
(B) \(6x - 2y + 3z + 6 = 0;\)
(C) \(6x - 3y + 2z + 6 = 0;\)
(D) \(6x - 3y - 2z + 6 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\({M_1}\left( { - 1,2,3} \right),{M_2}\left({ - 1, - 2, - 3} \right),{M_3}\left({1,2, - 3} \right); mp\left({{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) qua có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].\)
Chọn (C).
Câu 41
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left({x - 1} \right)^2} + {\left({y + 3} \right)^2} + {\left({z - 2} \right)^2} = 49.\) Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?(A) \(6x + 2y + 3z = 0;\)
(B) \(2x + 3y + 6z - 5 = 0;\)
(C) \(6x + 2y + 3z - 55 = 0;\)
(D) \(x + 2y + 2z - 7 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
(S) có tâm \(I\left( {1, - 3,2} \right),\) bán kính R = 7.
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 7.\)
Chọn (C).
Câu 42
Cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\) Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?(A) 0 ; (B) 1 ;
(C) 2 ; (D) 3.
Lời giải chi tiết:
Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có \(O \in \left( S \right).\)
Chọn (B).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!