Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1​B1​C1​ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2​B2​C2​ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1​B1​C1​,…, tam giác An+1​Bn+1​Cn+1​ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An​Bn​Cn​, … . Gọi p1​, p2​, ..., pn​, … và S1​, S2​, …, Sn​, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

Câu a

Tìm giới hạn của các dãy số (pn​) và (Sn​).
Lời giải chi tiết:
Ta có:


...
(1)
Chứng minh bằng qui nạp:
+) Với n=1 thì (đúng).
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là . Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1.
Tam giác đồng dạng tam giác  theo tỉ số  nên có chu vi
Do đó ta có .
Vì
Diện tích tam giác ABC là . Diện tích tam giác A1​B1​C1​là 
Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác là
Vì  nên .

Câu b

Tìm các tổng
và
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Lời giải chi tiết:
Ta có (pn​) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội do đó :

(Sn​) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội do đó :