The Collectors

Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng :

Câu a​

Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3 \text {và } g\left(x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí:
Hàm đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left({{x^3} - x + 3} \right) \) \(= x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại điểm x0​. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).
(Có thể khẳng định ngay: Hàm số f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên nó liên tục trên R\).
Hàm số g là hàm phân thức xác định trên R (do \(x^2+1\ne 0, \forall x\)) nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\).

Câu b​

Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} \text{ với} x \ne 2,} \cr {1 \text{ với} x = 2} \cr} } \right.\)
liên tục tại điểm \(x = 2\)
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x) liên tục tại \(x_0\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(x ≠ 2\), ta có:
\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left({x - 1} \right)\left({x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)
Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left(x-1 \right) = 1 = f\left(2 \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\)

Câu c​

Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}} \text{ với} x \ne 1} \cr {2 \text{ với} x = 1} \cr} } \right.\)
gián đoạn tại điểm \(x = 1\)
Lời giải chi tiết:
Với mọi  \(x ≠ 1\), ta có:
\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!
 

B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục

Quảng cáo

Back
Top