Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD. Điều ngược lại có đúng không ?
Lời giải chi tiết
A. Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI ⊥ AB.
Tương tự như trên ta cũng có JI ⊥ CD. Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.
b. Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.
Thật vậy, vì IJ ⊥ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :
Từ đó ta có :
Tương tự như trên ta cũng có :
Từ (1) và (2) ta suy ra
A. Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI ⊥ AB.
Tương tự như trên ta cũng có JI ⊥ CD. Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.
b. Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.
Thật vậy, vì IJ ⊥ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :
Từ đó ta có :
Tương tự như trên ta cũng có :
Từ (1) và (2) ta suy ra