Google
Câu hỏi: Cho hình hộp thoi ABCD. A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và \(\widehat {BAD} = \widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = 60^\circ .\) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A'B'C'D').
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết suy ra các tam giác A'AD, BAD, A'AB là các tam giác cân cùng có góc ở đỉnh bằng 60˚ nên chúng là các tam giác đều. Như vậy tứ diện A'ABD có các cạnh cùng bằng a hay A'ABD là tứ diện đều. Khi đó hình chiếu của A' trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của tam giác đều ABD. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A'B'C'D') chính là độ dài A'H. Ta có:
\(A'{H^2} = AA{'^2} - A{H^2}\)
\(= {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {{2{a^2}} \over 3}\)
Vậy \(A'H = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)
Từ giả thiết suy ra các tam giác A'AD, BAD, A'AB là các tam giác cân cùng có góc ở đỉnh bằng 60˚ nên chúng là các tam giác đều. Như vậy tứ diện A'ABD có các cạnh cùng bằng a hay A'ABD là tứ diện đều. Khi đó hình chiếu của A' trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của tam giác đều ABD. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A'B'C'D') chính là độ dài A'H. Ta có:
\(A'{H^2} = AA{'^2} - A{H^2}\)
\(= {a^2} - {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {{2{a^2}} \over 3}\)
Vậy \(A'H = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)