Google
Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left({{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left({\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left({x + \alpha } \right) \cr } \)
trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right.\)
Vì \(- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\) nên:
\(- \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \text{ và } - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\eqalign{
& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr } \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left({\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\
\le \left({{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left({{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= \left({\frac{1}{4} + 1} \right). 1 = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {\left({\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2
\end{array}\)
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :
\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2 \text{ và } - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó} a = {B \over 2}, b = {{C - A} \over 2}, c = {{C + A} \over 2} \cr} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left({a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\
\le \left({{a^2} + {b^2}} \right)\left({{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \left({{a^2} + {b^2}} \right). 1 = {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow {\left({a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c
\end{array}\)
Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left({\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \(= \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}\)
và giá trị nhỏ nhất là \(-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left({\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \(=- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)
Câu a
\(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\))Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x \cr&= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left({{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left({\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left({x + \alpha } \right) \cr } \)
trong đó \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}
\end{array} \right.\)
Vì \(- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\) nên:
\(- \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \text{ và } - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Câu b
\({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)Lời giải chi tiết:
Ta có :
\(\eqalign{
& y={\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x \cr&= {{1 - \cos 2x} \over 2} +{1 \over 2}\sin 2x + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = \frac{1}{2} - \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{3}{2} + \frac{{3\cos 2x}}{2}\cr&= {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr } \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left({\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}\\
\le \left({{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left({{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= \left({\frac{1}{4} + 1} \right). 1 = \frac{5}{4}\\
\Rightarrow {\left({\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} \le \frac{5}{4}\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\\
\Rightarrow - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2 \le y \le \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2
\end{array}\)
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :
\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2 \text{ và } - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)
Câu c
\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} \cr&= a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó} a = {B \over 2}, b = {{C - A} \over 2}, c = {{C + A} \over 2} \cr} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left({a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2}\\
\le \left({{a^2} + {b^2}} \right)\left({{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \left({{a^2} + {b^2}} \right). 1 = {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow {\left({a\sin 2x + b\cos 2x} \right)^2} \le {a^2} + {b^2}\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le a\sin 2x + b\cos 2x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c \le a\sin 2x + b\cos 2x + c \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + c
\end{array}\)
Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = \sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left({\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \(= \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)^2} + {{C + A} \over 2}\)
và giá trị nhỏ nhất là \(-\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c\) \( = -\sqrt {{{\left( {\frac{B}{2}} \right)}^2} + {{\left({\frac{{C - A}}{2}} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\) \(=- \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} \) \(= - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!