Google
Câu hỏi: Dùng công thức lượng giác (tổng của hai cosin) tìm tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc $\omega $, cùng biên độ A và có độ lệch pha $\Delta \varphi $. Đối chiếu với kết quả nhận được bằng phương pháp sử dụng giản đồ Fre - nen.
Lời giải chi tiết
Tổng của hai dao động của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc $\omega $, cùng biên độ A và có độ lệch pha $\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1}.$
$\eqalign{
& {x_1} = A\cos \left(\omega t + {\varphi _1}\right);{x_2} = A\cos \left(\omega t + {\varphi _2}\right). \cr
& \Rightarrow x = {x_1} + {x_2} = A\cos \left(\omega t + {\varphi _1}\right) + A\cos \left(\omega t + {\varphi _2}\right). \cr
& = A\left[ {\cos \left(\omega t + {\varphi _1}\right) + \cos \left(\omega t + {\varphi _2}\right)} \right]. \cr
& = 2A\cos {{\omega t + {\varphi _1} + \omega t + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{\omega t + {\varphi _1} - \omega t - {\varphi _2}} \over 2} \cr
& = 2A\cos {{2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2} \cr
& x = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}\cos \left( {\omega t + {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}} \right). \cr} $
+) Biên độ của dao động tổng hợp là $2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}$
+) Pha ban đầu của dao động tổng hợp : $\varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}$
* Nếu dùng phương pháp giản đồ Fre-nen thì :
$\eqalign{
& {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \cr
& = {A^2} + {A^2} + 2{A^2}\cos \Delta \varphi = 2{A^2}\left(1 + \cos \Delta \varphi \right) \cr
& = 2{A^2}.2{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2} = 4{A^2}{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2}. \cr
& \Rightarrow A = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}. \cr
& \tan \varphi = {{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \over {{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = {{A\sin {\varphi _1} + A\sin {\varphi _2}} \over {A\cos {\varphi _1} + A\cos {\varphi _2}}} \cr
& {{\sin {\varphi _1} + \sin {\varphi _2}} \over {\cos {\varphi _1} + \cos {\varphi _2}}} = {{2\sin {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}} \over {2\cos {{\varphi _1^{} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}}}\ = \tan {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2} \cr
& \Rightarrow \varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}. \cr} $
Tổng của hai dao động của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc $\omega $, cùng biên độ A và có độ lệch pha $\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1}.$
$\eqalign{
& {x_1} = A\cos \left(\omega t + {\varphi _1}\right);{x_2} = A\cos \left(\omega t + {\varphi _2}\right). \cr
& \Rightarrow x = {x_1} + {x_2} = A\cos \left(\omega t + {\varphi _1}\right) + A\cos \left(\omega t + {\varphi _2}\right). \cr
& = A\left[ {\cos \left(\omega t + {\varphi _1}\right) + \cos \left(\omega t + {\varphi _2}\right)} \right]. \cr
& = 2A\cos {{\omega t + {\varphi _1} + \omega t + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{\omega t + {\varphi _1} - \omega t - {\varphi _2}} \over 2} \cr
& = 2A\cos {{2\omega t + {\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2} \cr
& x = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}\cos \left( {\omega t + {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}} \right). \cr} $
+) Biên độ của dao động tổng hợp là $2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}$
+) Pha ban đầu của dao động tổng hợp : $\varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}$
* Nếu dùng phương pháp giản đồ Fre-nen thì :
$\eqalign{
& {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) \cr
& = {A^2} + {A^2} + 2{A^2}\cos \Delta \varphi = 2{A^2}\left(1 + \cos \Delta \varphi \right) \cr
& = 2{A^2}.2{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2} = 4{A^2}{\cos ^2}{{\Delta \varphi } \over 2}. \cr
& \Rightarrow A = 2A\cos {{\Delta \varphi } \over 2}. \cr
& \tan \varphi = {{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}} \over {{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} = {{A\sin {\varphi _1} + A\sin {\varphi _2}} \over {A\cos {\varphi _1} + A\cos {\varphi _2}}} \cr
& {{\sin {\varphi _1} + \sin {\varphi _2}} \over {\cos {\varphi _1} + \cos {\varphi _2}}} = {{2\sin {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}} \over {2\cos {{\varphi _1^{} + {\varphi _2}} \over 2}\cos {{{\varphi _1} - {\varphi _2}} \over 2}}}\ = \tan {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2} \cr
& \Rightarrow \varphi = {{{\varphi _1} + {\varphi _2}} \over 2}. \cr} $