Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Lời giải chi tiết
Ta có:
$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a$
$\Leftrightarrow 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq 2(a b+b c+c a)$
$\Leftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a \geq 0$
$\Leftrightarrow\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0 ;(*)$ (luôn đúng)
+ Vì với ba số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ bất kì thì
$(a-b)^{2} \geq 0 ;(a-c)^{2} \geq 0 ;(b-c)^{2} \geq 0$
$\Rightarrow(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$
+ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a-b=a-c=b-c=0$ hay $a=b=c$
Ta có:
$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq a b+b c+c a$
$\Leftrightarrow 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq 2(a b+b c+c a)$
$\Leftrightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a \geq 0$
$\Leftrightarrow\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)+\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b c+c^{2}\right) \geq 0$
$\Leftrightarrow(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0 ;(*)$ (luôn đúng)
+ Vì với ba số $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ bất kì thì
$(a-b)^{2} \geq 0 ;(a-c)^{2} \geq 0 ;(b-c)^{2} \geq 0$
$\Rightarrow(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$
+ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a-b=a-c=b-c=0$ hay $a=b=c$