Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm.
Lời giải chi tiết
Đặt \(f(x)={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left(x^{3}+a x^{2}+b x+c\right)=
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3} \cdot\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=+\infty$
Vì $
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3}=+\infty ;
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=1$
Và $
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\left(x^{3}+a x^{2}+b x+c\right)=
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3} \cdot\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=-\infty$
Vì $
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3}=-\infty ;
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=1$
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên có số \(α < 0\) sao cho \(f(α) < 0\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên có số \(β > 0\) sao cho \(f(β) > 0\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên \(\mathbb R\) chứa đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\) nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số \(d \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\) sao cho \(f(d) = 0\). Đó chính là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\).
Đặt \(f(x)={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\)
Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left(x^{3}+a x^{2}+b x+c\right)=
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3} \cdot\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=+\infty$
Vì $
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3}=+\infty ;
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=1$
Và $
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\left(x^{3}+a x^{2}+b x+c\right)=
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3} \cdot\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=-\infty$
Vì $
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }x^{3}=-\infty ;
\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{c}{x^{3}}\right)=1$
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên có số \(α < 0\) sao cho \(f(α) < 0\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên có số \(β > 0\) sao cho \(f(β) > 0\).
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên \(\mathbb R\) chứa đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\) nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số \(d \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\) sao cho \(f(d) = 0\). Đó chính là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\).