Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì: \({{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3abc\)
Phương pháp giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)
Lời giải chi tiết
Do a, b, c> 0 nên \(\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a} > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a}\) ta có:
\({{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3\root 3 \of {{{{a^4}} \over b}.{{{b^4}} \over c}.{{{c^4}} \over a}} = 3abc\)
Dấu "="xảy ra \( \Leftrightarrow {{{a^4}} \over b} = {{{b^4}} \over c} = {{{c^4}} \over a} \Leftrightarrow a = b = c\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)
Lời giải chi tiết
Do a, b, c> 0 nên \(\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a} > 0\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{{{a^4}}}{b},\frac{{{b^4}}}{c},\frac{{{c^4}}}{a}\) ta có:
\({{{a^4}} \over b} + {{{b^4}} \over c} + {{{c^4}} \over a} \ge 3\root 3 \of {{{{a^4}} \over b}.{{{b^4}} \over c}.{{{c^4}} \over a}} = 3abc\)
Dấu "="xảy ra \( \Leftrightarrow {{{a^4}} \over b} = {{{b^4}} \over c} = {{{c^4}} \over a} \Leftrightarrow a = b = c\)