Google
Câu hỏi: Chứng minh định lý sau bằng phản chứng
“Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”.
“Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”.
Lời giải chi tiết
Giả sử n là số tự nhiên và \({n^2}\) chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5.
Khi đó \(n = 5k + r\) với \(r \in \left\{ {1; 2; 3; 4} \right\}\)
TH1: \(n = 5k + 1\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 1} \right)^2} = 25{k^2} + 10k + 1\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
TH2: \(n = 5k + 2\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 2} \right)^2} = 25{k^2} + 20k + 4\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
TH3: \(n = 5k + 3\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 3} \right)^2} = 25{k^2} + 30k + 9\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
TH4: \(n = 5k + 4\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
Do đó nếu \(n\) không chia hết cho 5 thì \({n^2}\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn giải thiết)
Vậy n chia hết cho 5.
Giả sử n là số tự nhiên và \({n^2}\) chia hết cho 5 nhưng n không chia hết cho 5.
Khi đó \(n = 5k + r\) với \(r \in \left\{ {1; 2; 3; 4} \right\}\)
TH1: \(n = 5k + 1\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 1} \right)^2} = 25{k^2} + 10k + 1\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
TH2: \(n = 5k + 2\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 2} \right)^2} = 25{k^2} + 20k + 4\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
TH3: \(n = 5k + 3\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 3} \right)^2} = 25{k^2} + 30k + 9\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
TH4: \(n = 5k + 4\) thì \({n^2} = {\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn)
Do đó nếu \(n\) không chia hết cho 5 thì \({n^2}\) không chia hết cho 5 (mâu thuẫn giải thiết)
Vậy n chia hết cho 5.