Google
Câu hỏi:
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {\sin ^2}{\pi \over 8} = {{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr & {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)
\(\sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \) \(= C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {1^2} + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 . \text{ Do đó} : \cr & \sin x + \left({\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \cr & = \left({\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left({{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left({\sin x\cos {\pi \over 8} + \sin {\pi \over 8}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left({x + {\pi \over 8}} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left({x - {{3\pi } \over 8}} \right) \cr & \text{ Vì } {1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} \cr &= {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } = \cos {\pi \over 8}. \cr & \text{và }\sin \left({x + \frac{\pi }{8}} \right) = \cos \left({\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{8}} \right) \cr &= \cos \left({\frac{{3\pi }}{8} - x} \right) = \cos \left({x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) \cr & \text{Vậy } C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cr} \)
Câu a
Tính \(\sin {\pi \over 8} \text{ và } \cos {\pi \over 8}\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {\sin ^2}{\pi \over 8} = {{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr & {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)
Câu b
Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức\(\sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \) \(= C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {1^2} + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 . \text{ Do đó} : \cr & \sin x + \left({\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \cr & = \left({\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left({{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left({\sin x\cos {\pi \over 8} + \sin {\pi \over 8}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left({x + {\pi \over 8}} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left({x - {{3\pi } \over 8}} \right) \cr & \text{ Vì } {1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} \cr &= {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } = \cos {\pi \over 8}. \cr & \text{và }\sin \left({x + \frac{\pi }{8}} \right) = \cos \left({\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{8}} \right) \cr &= \cos \left({\frac{{3\pi }}{8} - x} \right) = \cos \left({x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) \cr & \text{Vậy } C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cr} \)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!