Bài 9 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho parabol (P) có phương trình y2​ = 4x.

Câu a

Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của (P).
Lời giải chi tiết:
Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1,0).
Phương trình đường chuẩn d: x + 1 = 0.

Câu b

Đường thẳng Δ có phương trình $y=m,(m\ne 0)$ lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.
Lời giải chi tiết:
$\ast \mathrm{\Delta }$ cắt d tại $\mathrm{K}$ nên tọa độ $\mathrm{K}$ là nghiệm hệ:
$$\{\begin{array}{c}y=m\\ x+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=m\\ x=-1\end{array}\Rightarrow K(-1;m)$$
$\ast \mathrm{\Delta }$ cắt Oy tại $\mathrm{H}$ nên tọa độ $\mathrm{H}$ là nghiệm hệ:
$$\{\begin{array}{l}y=m\\ x=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=m\\ x=0\end{array}\Rightarrow H(0;m).$$
$\ast \mathrm{\Delta }$ cắt $(\mathrm{P})$ tại $\mathrm{M}$ nên tọa độ $\mathrm{M}$ là nghiệm hệ:
$$\{\begin{array}{c}y=m\\ y^2=4x\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=m\\ m^2=4x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=m\\ x=\frac{m^2}{4}\end{array}\Rightarrow M(\frac{m^2}{4};m)$$

Câu c

Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Lời giải chi tiết:
c) Do I là trung điểm của OH nên tọa độ I là:
$$\{\begin{array}{l}x=\frac{0+0}{2}=0\\ y=\frac{0+m}{2}=\frac{m}{2}\end{array}\Rightarrow I(0;\frac{m}{2})$$
*Đường thẳng IM đi qua I
nhận $\overrightarrow{IM}(\frac{m^2}{4};\frac{m}{2})=\frac{m}{2}(\frac{m}{2};1)$ làm vecto chỉ phương
nên nhận $\overrightarrow{n}=(1;\frac{-m}{2})$ làm vecto pháp tuyến
$=>\mathrm{IM}:1(x-0)-\frac{m}{2}\cdot (y-\frac{m}{2})=0$
$\iff x-\frac{m}{2}y+\frac{m^2}{4}=0$
Hay IM: $4x-2my+m^2=0$
Tọa độ giao điểm của IM với (P) là nghiệm của hệ
$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}{y}^2=4x\\ 4x-2my+m^2=0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}{y}^2=4x\\ y^2-2my+m^2=0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}{y}^2=4x\\ (y-m{)}^2=0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x=\frac{m^2}{4}\\ y=m\end{array}\end{array}$
Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất $M\left(\frac{m^2}{4};m\right)$

Câu d

Chứng minh rằng $MI\mathrm{\perp }KF$ . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.
Lời giải chi tiết:
Ta có $\overrightarrow{MI}=\left(-\frac{m^2}{4};-\frac{m}{2}\right),$ $\overrightarrow{KF}=(2;-m)$ .
Suy ra $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{KF}=-\frac{m^2}{2}+\frac{m^2}{2}=0$ $\Rightarrow MI\mathrm{\perp }KF$
Tam giác $KMF$ cân tại M (do MF = MK).
MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.