Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}.\)

Câu a​

Viết phương trình hình chiếu của \(\Delta \) trên các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\)
Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu \({d_1}\) của \(\Delta \) trên (Oxy) có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + t \hfill \cr 
z = 0 \hfill \cr} \right.\)
Hình chiếu \({d_2}\) của \(\Delta \) trên (Oyz) là
\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
y = - 1 - t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right..\)
Hình chiếu \({d_3}\) của \(\Delta \) trên (Oxz) là
\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right..\)

Câu b​

Chứng minh rằng mặt phẳng \(x + 5y + z + 4 = 0\) đi qua đường thẳng \(\Delta \).
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t, - 1 - t, 3t} \right) \in \Delta ,\) thay tọa độ của M vào phương trình \(mp\left( \alpha  \right)\) ta có:
\(1 + 2t - 5\left( {1 + t} \right) + 3t + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left(\alpha  \right).\)
Vậy \(\Delta  \subset \left( \alpha  \right),\) tức \(mp\left( \alpha  \right)\) đi qua \(\Delta \).

Câu c​

Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và các trục tọa độ.
Lời giải chi tiết:
\(\Delta \) qua điểm \(M\left( {1; - 1; 0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; 3} \right).\)
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i \left( {1; 0; 0} \right)\).
Khoảng cách giữa \(\Delta \) và trục Ox là:
\({h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3\sqrt {10} } \over {10}}.\)
Khoảng cách giữa \(\Delta \) và trục Oy là:
\({h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = {{3\sqrt {13} } \over {13}}.\)
Khoảng cách giữa \(\Delta \) và trục Oz là:
\({h_3} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]} \right|}} = {{\left| 1 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\sqrt 5 } \over 5}.\)

Câu d​

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ':x = y = z.\)
Lời giải chi tiết:
Lấy \(P\left( {1 + 2t, - 1 - t, 3t} \right) \in \Delta , \Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; 3} \right).\)
\(Q\left( {t', t', t'} \right) \in \Delta ', \Delta '\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \left( {1; 1; 1} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {QP}  = \left( {1 + 2t - t', - 1 - t - t', 3t - t'} \right).\)
PQ là đường vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta '\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow {u'} ,\) tức là:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2\left({1 + 2t - t'} \right) - \left({ - 1 - t - t'} \right) + 3\left({3t - t'} \right) = 0 \hfill \cr 
1 + 2t - t' - 1 - t - t' + 3t - t' = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14t - 4t' = - 3 \hfill \cr 
4t - 3t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {9 \over {26}} \hfill \cr 
t' = - {6 \over {13}} \hfill \cr} \right.. \cr} \)
Do đó \(Q\left( { - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}} \right)\) và \(\overrightarrow {QP}  = \left( {{{20} \over {16}},{{ - 5} \over {16}},{{ - 15} \over {16}}} \right) = {5 \over {16}}\left({4; - 1; - 3} \right).\)
Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {4; - 1; - 3} \right).\)
Do đó PQ có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = - {6 \over {13}} + 4t \hfill \cr 
y = - {6 \over {13}} - t \hfill \cr 
z = - {6 \over {13}} - 3t \hfill \cr} \right..\)

Câu e​

Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả \(\Delta \) và ’\(\Delta '\).
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm \(P\left( {1 + 2t, - 1 - t, 3t} \right) \in \Delta .\)
\(Q\left( {t', t', t'} \right) \in \Delta '.\)
PQ // Oz \( \Leftrightarrow \overrightarrow {QP} \) cùng phương với
\(\overrightarrow k = \left( {0; 0; 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 + 2t - t' = 0 \hfill \cr 
- 1 - t - t' = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {2 \over 3} \hfill \cr 
t' = - {1 \over 3}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy PQ đi qua \(Q\left( { - {1 \over 3}, - {1 \over 3}, - {1 \over 3}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k  = \left( {0; 0; 1} \right)\) nên PQ có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr 
y = - {1 \over 3} \hfill \cr 
z = - {1 \over 3} + t \hfill \cr} \right..\)