Google
Câu hỏi: Với ba số \(a, b, c\) không âm, chứng minh bất đẳng thức:
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
Phương pháp giải
Cách 1: Áp dụng:
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số \(a,b\) không âm \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Vì \(a, b\) và \(c\) không âm nên \(\sqrt a;\sqrt b \) và \(\sqrt c \) tồn tại.
Ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} (1) \cr} \)
\({\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} (2) \cr} \)
\({\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} (3) \cr} \)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:
\(\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm \(a, b, c\) ta có:
\(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (1)
\(\dfrac{{b + c}}{2} \ge \sqrt {bc} \) (2)
\(\dfrac{{a + c}}{2} \ge \sqrt {ac} \) (3)
Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \)
Suy ra, điều phải chứng minh.
+) Với bốn số \(a, b, c, d\) không âm, ta có:
\(a + b + c + d \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} \)
+) Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:
\(a + b + c + d + e \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} \)
Cách 1: Áp dụng:
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số \(a,b\) không âm \(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Vì \(a, b\) và \(c\) không âm nên \(\sqrt a;\sqrt b \) và \(\sqrt c \) tồn tại.
Ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} (1) \cr} \)
\({\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} (2) \cr} \)
\({\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} (3) \cr} \)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:
\(\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm \(a, b, c\) ta có:
\(\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \) (1)
\(\dfrac{{b + c}}{2} \ge \sqrt {bc} \) (2)
\(\dfrac{{a + c}}{2} \ge \sqrt {ac} \) (3)
Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \)
Suy ra, điều phải chứng minh.
+) Với bốn số \(a, b, c, d\) không âm, ta có:
\(a + b + c + d \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} \)
+) Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:
\(a + b + c + d + e \)\(\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} \)