Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B,\) \(OO' = 3cm.\) Qua \(A\) kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn \((O)\) và \((O')\) theo thứ tự tại \(E\) và \(F\) ( \(A\) nằm giữa \(E\) và \(F\)). Tính xem đoạn thẳng \(EF\) có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu\(?\)
Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Kẻ \(OI ⊥ AE, O'K ⊥ AF\)
Trong đường tròn \((O),\) có \(OI ⊥ AE\) mà OI là 1 phần đường kính và AE là dây cung nên:
\( IA = IE = \displaystyle {1 \over 2}AE\) ( đường kính vuông góc với dây cung)
Trong đường tròn \((O'),\) có \(O'K ⊥ AF\) mà O'K là 1 phần đường kính và AF là dây cung nên:
\(KA = KF = \displaystyle {1 \over 2}AF\) (đường kính vuông góc với dây cung)
Ta có: \( EF = AE + AF\)
Suy ra: \(EF = 2IA + 2AK \)\(= 2(IA + AK) = 2IK (1)\)
Kẻ \(O'H ⊥ OI\)
Khi đó tứ giác \(IHO'K\) là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)
Suy ra: \(O'H = IK\)
Trong tam giác \(OHO'\) ta có: \(O'H \le {\rm{OO'}}=3 (cm)\)
Suy ra: \(IK \le {\rm{OO}}'\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(EF \le {\rm{2OO'}}= 6 (cm)\)
Ta có: \(EF = 6cm\) khi \(H\) và \(O\) trùng nhau hay \(EF // OO'\)
Vậy \(EF\) có độ dài lớn nhất bằng \(6cm\) khi và chỉ khi \(EF // OO'.\)
Sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết
Kẻ \(OI ⊥ AE, O'K ⊥ AF\)
Trong đường tròn \((O),\) có \(OI ⊥ AE\) mà OI là 1 phần đường kính và AE là dây cung nên:
\( IA = IE = \displaystyle {1 \over 2}AE\) ( đường kính vuông góc với dây cung)
Trong đường tròn \((O'),\) có \(O'K ⊥ AF\) mà O'K là 1 phần đường kính và AF là dây cung nên:
\(KA = KF = \displaystyle {1 \over 2}AF\) (đường kính vuông góc với dây cung)
Ta có: \( EF = AE + AF\)
Suy ra: \(EF = 2IA + 2AK \)\(= 2(IA + AK) = 2IK (1)\)
Kẻ \(O'H ⊥ OI\)
Khi đó tứ giác \(IHO'K\) là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)
Suy ra: \(O'H = IK\)
Trong tam giác \(OHO'\) ta có: \(O'H \le {\rm{OO'}}=3 (cm)\)
Suy ra: \(IK \le {\rm{OO}}'\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(EF \le {\rm{2OO'}}= 6 (cm)\)
Ta có: \(EF = 6cm\) khi \(H\) và \(O\) trùng nhau hay \(EF // OO'\)
Vậy \(EF\) có độ dài lớn nhất bằng \(6cm\) khi và chỉ khi \(EF // OO'.\)