Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Câu a

 với mọi với mọi
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số  liên tục trên nửa khoảng
Đạo hàm với mọi .
Do đó hàm số đồng biến trên
Từ đó với mọi  ta có:

.

Với  thì .
Vậy  với mọi
Xét hàm số f(x) = x – sin x trên
Đạo hàm f'(x) = 1 - cos x > 0 
Do đó hàm số đồng biến trên 
⇒ f(x) < f(0) hay x- sin x < 0

+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi
(vì )
Do đó x < sin x với mọi x < 0.
Cách giải thích khác:
* Với mọi , áp dụng chứng minh ở trường hợp x > 0 ta có:
(do x < 0 thì -x > 0)

Vậy  với mọi .

Câu b

 với mọi
Lời giải chi tiết:
Hàm số  liên tục trên  và có đạo hàm
Theo câu a)  với mọi nên hàm số g đồng biến trên , khi đó ta có
với mọi , tức là  với mọi
hay  với mọi (1)
Với mọi x < 0 thì -x > 0 nên theo (1) ta có:

với mọi
Vậy  với mọi .
Cách khác:
g'(x) = x – sin x
g'(x)=0 x- sin x = 0
⇔ x = 0
Theo câu a ta có bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy

Câu c

 với mọi ;  với mọi .
Lời giải chi tiết:
Hàm số  có đạo hàm  với mọi (câu b)
Do đó đồng biến trên  nên ta có:
và
Từ đó suy ra:  với mọi
với mọi