Google
Câu hỏi: Cho phương trình \(3x^2– 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0\).
Xác định \(m\) để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Xác định \(m\) để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Phương pháp giải
- Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có: \({x_2} = 3{x_1}\).
- Sử dụng Vi - et tìm một trong hai nghiệm rồi thay vào phương trình đã cho tìm \(m\).
Lời giải chi tiết
Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)
(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ' > 0
⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} - 2. M.\frac{7}{2} + \frac{{49}}{4} + \frac{{15}}{4} > 0\\
\Leftrightarrow {\left({m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0
\end{array}\)
Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi hai nghiệm đó là x1; x2
Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên giả sử \(\displaystyle {x_2} = 3{x_1}\).
Theo định lí Vi - et ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} \)
\(\Rightarrow {x_1} + 3{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)
\(\Leftrightarrow 4{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)
\(\Leftrightarrow {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\)
Thay \(\displaystyle x_1=\dfrac{m+1}{6}\) vào phương trình ta được:
\(3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6}\)\(+ 3m - 5 = 0 \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{3{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{36}} - \frac{{2{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{6} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{3} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{4{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{12\left({3m - 5} \right)}}{{12}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left({m + 1} \right)^2} - 4{\left({m + 1} \right)^2} + 12\left({3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3{\left({m + 1} \right)^2} + 12\left({3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3\left({{m^2} + 2m + 1} \right) + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} - 6m - 3 + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
+) Với \(\displaystyle m = 3\) ta có phương trình 3x2 – 8m + 4 = 0
PT có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+) Với m = 7 ta có phương trình 3x2 – 16m + 16 = 0
PT có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy,
Với m=3 thì pt có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{2}{3}\);\(\displaystyle x_2= 2\).
Với \(\displaystyle m = 7\) phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{4}{3}\);\(\displaystyle x_2= 4\).
Cách khác:
Sau khi tìm được \({x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\) ta suy ra \({x_2} = 3{x_1} = 3.\frac{{m + 1}}{6} = \frac{{m + 1}}{2}\)
Theo Viet ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Rightarrow \frac{{m + 1}}{6}.\frac{{m + 1}}{2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow 3{\left({m + 1} \right)^2} = 12\left({3m - 5} \right)\\
\Leftrightarrow 3\left({{m^2} + 2m + 1} \right) = 36m - 60\\
\Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 3 - 36m + 60 = 0\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 30m + 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
Từ đó các em cũng ra được đáp án cần tìm.
- Giả sử phương trình có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên ta có: \({x_2} = 3{x_1}\).
- Sử dụng Vi - et tìm một trong hai nghiệm rồi thay vào phương trình đã cho tìm \(m\).
Lời giải chi tiết
Ta có : 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)
(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ' > 0
⇔ (m + 1)2 – 3.(3m – 5) > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} - 2. M.\frac{7}{2} + \frac{{49}}{4} + \frac{{15}}{4} > 0\\
\Leftrightarrow {\left({m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0
\end{array}\)
Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi hai nghiệm đó là x1; x2
Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên giả sử \(\displaystyle {x_2} = 3{x_1}\).
Theo định lí Vi - et ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} \)
\(\Rightarrow {x_1} + 3{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)
\(\Leftrightarrow 4{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)
\(\Leftrightarrow {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\)
Thay \(\displaystyle x_1=\dfrac{m+1}{6}\) vào phương trình ta được:
\(3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6}\)\(+ 3m - 5 = 0 \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{3{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{36}} - \frac{{2{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{6} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{3} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{4{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{12\left({3m - 5} \right)}}{{12}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left({m + 1} \right)^2} - 4{\left({m + 1} \right)^2} + 12\left({3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3{\left({m + 1} \right)^2} + 12\left({3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3\left({{m^2} + 2m + 1} \right) + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} - 6m - 3 + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
+) Với \(\displaystyle m = 3\) ta có phương trình 3x2 – 8m + 4 = 0
PT có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+) Với m = 7 ta có phương trình 3x2 – 16m + 16 = 0
PT có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
Vậy,
Với m=3 thì pt có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{2}{3}\);\(\displaystyle x_2= 2\).
Với \(\displaystyle m = 7\) phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{4}{3}\);\(\displaystyle x_2= 4\).
Cách khác:
Sau khi tìm được \({x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\) ta suy ra \({x_2} = 3{x_1} = 3.\frac{{m + 1}}{6} = \frac{{m + 1}}{2}\)
Theo Viet ta có:
\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Rightarrow \frac{{m + 1}}{6}.\frac{{m + 1}}{2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow 3{\left({m + 1} \right)^2} = 12\left({3m - 5} \right)\\
\Leftrightarrow 3\left({{m^2} + 2m + 1} \right) = 36m - 60\\
\Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 3 - 36m + 60 = 0\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 30m + 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
Từ đó các em cũng ra được đáp án cần tìm.