Câu hỏi: Cho hypebol (H) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: a2 =16; b2 = 4 => a= 4 và b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là
\(y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\)
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là \(S = 4ab = 4.4.2 = 32\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \({{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1\) và \({{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1\) nên M và N đều thuộc (H).
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng của MN
\(\Delta : {{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 - {3 \over 2}}}\) \(\Leftrightarrow {{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}}\)
Giao điểm P của Δ với tiệm cận \(y = {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow P \left( {8 + 2\sqrt 3; 4 + \sqrt 3 } \right)\) .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \(y = - {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow Q\left( {5 - 2\sqrt 3 ; - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)\)
Cách khác:
Đường thẳng MN đi qua $M\left(5 ; \frac{3}{2}\right)$ nhận vecto $\overrightarrow{M N}\left(3 ; 2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ làm vecto chỉ phương
Nên nhận vecto $\vec{n}\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2} ;-3\right)$ làm vecto pháp tuyến.
$=>$ Phương trình MN:
$\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)(x-5)-3 \cdot\left(y-\frac{3}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0$
* Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=\frac{1}{2} x$ là nghiệm hệ phương trình :
$$
\left\{\begin{array}{c}
\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0 \\
y=\frac{1}{2} x
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=8+2 \sqrt{3} \\
y=4+\sqrt{3}
\end{array}\right.\right.
$$
Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=-\frac{1}{2} x$ là nghiệm hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{c}\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0 \\ y=-\frac{1}{2} x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5-2 \sqrt{3} \\ y=\frac{-5}{2}+\sqrt{3}\end{array}\right.\right.$
Vậy hai giao điểm của MN với 2 đường tiệm cận là:
$P(8+2 \sqrt{3} ; 4+\sqrt{3}) ; Q\left(5-2 \sqrt{3} ; \frac{-5}{2}+\sqrt{3}\right)$
Lời giải chi tiết:
* Gọi I là trung điểm của MN ta có:
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2} \\ y=\frac{\frac{3}{2}+2 \sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array} \Rightarrow I\left(\frac{13}{2} ; \frac{3}{4}+\sqrt{3}\right)\right.$
* Gọi J là trung điểm của $\mathrm{PQ}$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8+2 \sqrt{3}+5-2 \sqrt{3}}{2}=\frac{13}{2} \\ y=\frac{4+\sqrt{3}-\frac{5}{2}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array} \Rightarrow J\left(\frac{13}{2} ; \frac{3}{4}+\sqrt{3}\right)\right.$
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Câu a
Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H).Lời giải chi tiết:
Ta có: a2 =16; b2 = 4 => a= 4 và b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là
\(y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\)
Câu b
Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H).Lời giải chi tiết:
Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là \(S = 4ab = 4.4.2 = 32\)
Câu c
Chứng minh rằng các điểm \(M\left( {5 ; {3 \over 2}} \right) , N(8; 2\sqrt 3)\) đều thuộc (H).Lời giải chi tiết:
Ta có \({{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1\) và \({{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1\) nên M và N đều thuộc (H).
Câu d
Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H).Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng của MN
\(\Delta : {{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 - {3 \over 2}}}\) \(\Leftrightarrow {{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}}\)
Giao điểm P của Δ với tiệm cận \(y = {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow P \left( {8 + 2\sqrt 3; 4 + \sqrt 3 } \right)\) .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \(y = - {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow Q\left( {5 - 2\sqrt 3 ; - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)\)
Cách khác:
Đường thẳng MN đi qua $M\left(5 ; \frac{3}{2}\right)$ nhận vecto $\overrightarrow{M N}\left(3 ; 2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ làm vecto chỉ phương
Nên nhận vecto $\vec{n}\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2} ;-3\right)$ làm vecto pháp tuyến.
$=>$ Phương trình MN:
$\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)(x-5)-3 \cdot\left(y-\frac{3}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0$
* Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=\frac{1}{2} x$ là nghiệm hệ phương trình :
$$
\left\{\begin{array}{c}
\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0 \\
y=\frac{1}{2} x
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=8+2 \sqrt{3} \\
y=4+\sqrt{3}
\end{array}\right.\right.
$$
Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=-\frac{1}{2} x$ là nghiệm hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{c}\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0 \\ y=-\frac{1}{2} x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5-2 \sqrt{3} \\ y=\frac{-5}{2}+\sqrt{3}\end{array}\right.\right.$
Vậy hai giao điểm của MN với 2 đường tiệm cận là:
$P(8+2 \sqrt{3} ; 4+\sqrt{3}) ; Q\left(5-2 \sqrt{3} ; \frac{-5}{2}+\sqrt{3}\right)$
Câu e
Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.Lời giải chi tiết:
* Gọi I là trung điểm của MN ta có:
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2} \\ y=\frac{\frac{3}{2}+2 \sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array} \Rightarrow I\left(\frac{13}{2} ; \frac{3}{4}+\sqrt{3}\right)\right.$
* Gọi J là trung điểm của $\mathrm{PQ}$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8+2 \sqrt{3}+5-2 \sqrt{3}}{2}=\frac{13}{2} \\ y=\frac{4+\sqrt{3}-\frac{5}{2}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array} \Rightarrow J\left(\frac{13}{2} ; \frac{3}{4}+\sqrt{3}\right)\right.$
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!