Bài 8 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho hypebol (H) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1\)

Câu a

Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H).
Lời giải chi tiết:
Ta có: a2​ =16; b2​ = 4 => a= 4 và b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là
\(y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\)

Câu b

Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là \(S = 4ab = 4.4.2 = 32\)

Câu c

Chứng minh rằng các điểm \(M\left( {5 ; {3 \over 2}} \right) , N(8; 2\sqrt 3)\) đều thuộc (H).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1\) và \({{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1\) nên M và N đều thuộc (H).

Câu d

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H).
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng của MN
\(\Delta : {{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 - {3 \over 2}}}\) \(\Leftrightarrow {{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}}\)
Giao điểm P của Δ với tiệm cận \(y = {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow P \left( {8 + 2\sqrt 3; 4 + \sqrt 3 } \right)\) .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \(y = - {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow Q\left( {5 - 2\sqrt 3 ; - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)\)
Cách khác:
Đường thẳng MN đi qua $M\left(5 ; \frac{3}{2}\right)$ nhận vecto $\overrightarrow{M N}\left(3 ; 2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ làm vecto chỉ phương
Nên nhận vecto $\vec{n}\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2} ;-3\right)$ làm vecto pháp tuyến.
$=>$ Phương trình MN:
$\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)(x-5)-3 \cdot\left(y-\frac{3}{2}\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0$
* Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=\frac{1}{2} x$ là nghiệm hệ phương trình :
$$
\left\{\begin{array}{c}
\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0 \\
y=\frac{1}{2} x
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=8+2 \sqrt{3} \\
y=4+\sqrt{3}
\end{array}\right.\right.
$$
Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=-\frac{1}{2} x$ là nghiệm hệ phương trình :
$\left\{\begin{array}{c}\left(2 \sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \cdot x-3 y-10 \sqrt{3}+12=0 \\ y=-\frac{1}{2} x\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5-2 \sqrt{3} \\ y=\frac{-5}{2}+\sqrt{3}\end{array}\right.\right.$
Vậy hai giao điểm của MN với 2 đường tiệm cận là:
$P(8+2 \sqrt{3} ; 4+\sqrt{3}) ; Q\left(5-2 \sqrt{3} ; \frac{-5}{2}+\sqrt{3}\right)$

Câu e

Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
* Gọi I là trung điểm của MN ta có:
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2} \\ y=\frac{\frac{3}{2}+2 \sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array} \Rightarrow I\left(\frac{13}{2} ; \frac{3}{4}+\sqrt{3}\right)\right.$
* Gọi J là trung điểm của $\mathrm{PQ}$ ta có:
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{8+2 \sqrt{3}+5-2 \sqrt{3}}{2}=\frac{13}{2} \\ y=\frac{4+\sqrt{3}-\frac{5}{2}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array} \Rightarrow J\left(\frac{13}{2} ; \frac{3}{4}+\sqrt{3}\right)\right.$
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.