Bài 8 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho hypebol (H) có phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$

Câu a

Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H).
Lời giải chi tiết:
Ta có: a2​ =16; b2​ = 4 => a= 4 và b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là
$y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{1}{2}x$

Câu b

Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H).
Lời giải chi tiết:
Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là $S=4ab=4.4.2=32$

Câu c

Chứng minh rằng các điểm $M\left(5;\frac{3}{2}\right),N(8;2\sqrt{3})$ đều thuộc (H).
Lời giải chi tiết:
Ta có $\frac{5^2}{16}-\frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{4}=1$ và $\frac{8^2}{16}-\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}{4}=1$ nên M và N đều thuộc (H).

Câu d

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H).
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng của MN
$\mathrm{\Delta }:\frac{x-5}{8-5}=\frac{y-\frac{3}{2}}{2\sqrt{3}-\frac{3}{2}}$ $\iff \frac{x-5}{3}=\frac{2y-3}{4\sqrt{3}-3}$
Giao điểm P của Δ với tiệm cận $y=\frac{1}{2}x$ là nghiệm của hệ
$\{\begin{array}{c}\frac{x-5}{3}=\frac{2y-3}{4\sqrt{3}-3}\hfill \\ y=\frac{1}{2}x\hfill \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x=8+2\sqrt{3}\hfill \\ y=4+\sqrt{3}\hfill \end{array}$
$\Rightarrow P\left(8+2\sqrt{3};4+\sqrt{3}\right)$ .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận $y=-\frac{1}{2}x$ là nghiệm của hệ
$\{\begin{array}{c}\frac{x-5}{3}=\frac{2y-3}{4\sqrt{3}-3}\hfill \\ y=-\frac{1}{2}x\hfill \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x=5-2\sqrt{3}\hfill \\ y=-\frac{5}{2}+\sqrt{3}\hfill \end{array}$
$\Rightarrow Q\left(5-2\sqrt{3};-\frac{5}{2}+\sqrt{3}\right)$
Cách khác:
Đường thẳng MN đi qua $M(5;\frac{3}{2})$ nhận vecto $\overrightarrow{MN}(3;2\sqrt{3}-\frac{3}{2})$ làm vecto chỉ phương
Nên nhận vecto $\overrightarrow{n}(2\sqrt{3}-\frac{3}{2};-3)$ làm vecto pháp tuyến.
$=>$ Phương trình MN:
$(2\sqrt{3}-\frac{3}{2})(x-5)-3\cdot (y-\frac{3}{2})=0$
$\iff (2\sqrt{3}-\frac{3}{2})\cdot x-3y-10\sqrt{3}+12=0$
* Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=\frac{1}{2}x$ là nghiệm hệ phương trình :
$$\{\begin{array}{c}(2\sqrt{3}-\frac{3}{2})x-3y-10\sqrt{3}+12=0\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=8+2\sqrt{3}\\ y=4+\sqrt{3}\end{array}$$
Giao điểm của MN với đường tiệm cận $y=-\frac{1}{2}x$ là nghiệm hệ phương trình :
$\{\begin{array}{c}(2\sqrt{3}-\frac{3}{2})\cdot x-3y-10\sqrt{3}+12=0\\ y=-\frac{1}{2}x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=5-2\sqrt{3}\\ y=\frac{-5}{2}+\sqrt{3}\end{array}$
Vậy hai giao điểm của MN với 2 đường tiệm cận là:
$P(8+2\sqrt{3};4+\sqrt{3});Q(5-2\sqrt{3};\frac{-5}{2}+\sqrt{3})$

Câu e

Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Lời giải chi tiết:
* Gọi I là trung điểm của MN ta có:
$\{\begin{array}{c}x=\frac{5+8}{2}=\frac{13}{2}\\ y=\frac{\frac{3}{2}+2\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow I(\frac{13}{2};\frac{3}{4}+\sqrt{3})$
* Gọi J là trung điểm của $\mathrm{PQ}$ ta có:
$\{\begin{array}{l}x=\frac{8+2\sqrt{3}+5-2\sqrt{3}}{2}=\frac{13}{2}\\ y=\frac{4+\sqrt{3}-\frac{5}{2}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}+\sqrt{3}\end{array}\Rightarrow J(\frac{13}{2};\frac{3}{4}+\sqrt{3})$
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.