Bài 7 trang 91 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Cho điểm \(A(1; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

Câu a​

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\).
Phương pháp giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng \(\Delta\) thì \(H \in \Delta\), tham số hóa tọa độ điểm H theo ẩn t.
\(\overrightarrow {AH}  \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {AH} .{\overrightarrow u _\Delta } = 0\), giải phương trình tìm t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t; 1 + 2t; t)\).
Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AH}\bot\)  \(\overrightarrow{u}\).
Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t; 1 + 2t; t)\) nên:
\(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\)  ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.
⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)
⇔ \(6t + 3 = 0   ⇔ t =  -\dfrac{1}{2}\).
⇔ \(H\left (\dfrac{3}{2}; 0;-\dfrac{1}{2} \right)\).

Câu b​

b) Tìm tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\).
Phương pháp giải:
A' đối xứng với A qua đường thẳng d suy ra H là trung điểm của AA', với H là hình chiếu vuông góc của A trên \(\Delta\). Từ đó tìm tọa độ điểm A'.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\)  thì \(H\) là trung điểm của \(AA'\).
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.\dfrac{3}{2} - 1 = 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.0 - 0 = 0\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - 0 = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left({2; 0; - 1} \right)\)