Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu hỏi:

Câu a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số: $y = x^3+ 3x^2+ 1.$
Phương pháp giải:
Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã học.
Lời giải chi tiết:
$\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1$
Tập xác định: $\displaystyle D =\mathbb R$
* Sự biến thiên:
Ta có: $\displaystyle y'= 3x^2+ 6x = 3x\left(x+ 2\right)$
$\displaystyle \begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2
\end{array} \right..
\end{array}$
- Hàm số đồng biến trên khoảng $\displaystyle \left(-\infty;-2\right)$ và $\displaystyle \left(0;+\infty\right)$, nghịch biến trên khoảng $\displaystyle \left(-2;0\right)$
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại $\displaystyle x=-2$ ; $\displaystyle y_{CĐ}=5$
Hàm số đạt cực tiểu tại $\displaystyle x=0$ ; $\displaystyle y_{CT}=1$.
- Giới hạn: $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow - \infty } y = - \infty$, $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \Rightarrow + \infty } y = + \infty$
- Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao $\displaystyle Oy$ tại $\displaystyle \left(0;1\right)$
Đồ thị hàm số nhận $\displaystyle I\left(-1;3\right)$ làm tâm đối xứng.

Câu b

b) Dựa vào đồ thị $\left(C\right)$, biện luận số nghiệm của phương trình sau theo $m$ : ${x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}.$
Phương pháp giải:
Số nghiệm của phương trình $f\left(x\right) = \dfrac{m}{2}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và đường thẳng $y=\dfrac{m}{2}.$ Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Số nghiệm của phương trình $\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}$  chính là số giao điểm của $\displaystyle \left(C\right)$ và đường thẳng $\displaystyle \left(d\right)$ : $\displaystyle y = {m \over 2}$
Từ đồ thị ta thấy:
- Với $\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2$  : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với $\displaystyle {m \over 2} = 1  ⇔ m = 2$ : (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với $\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10$ : (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.
- Với   $\displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với $\displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10$ : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
Vậy, nếu $m < 2$ hoặc $m > 10$ thì phương trình có $1$ nghiệm duy nhất.
+ Nếu $m = 2$ hoặc $m = 10$ thì phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.
+ Nếu $2 < m < 10$ thì phương trình có $3$ nghiệm phân biệt.

Câu c

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị $\left(C\right).$
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Viết pt đường thẳng AB đi qua 2 điểm A, B ta làm như sau:
+ Tìm tọa độ  $\overrightarrow {AB} $ suy ra tọa độ VTPT của đt.
+ Viết pt đường thẳng theo công thức  $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$
Lời giải chi tiết:
Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\displaystyle A\left(-2, 5\right)$, điểm cực tiểu là $\displaystyle B\left(0, 1\right)$.
Ta có:  $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)$ là VTPT của AB.
AB đi qua A(-2; 5) và nhận  $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)$ làm VTPT nên có pt:
$4\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$