Bài 7.1, 7.2, 7.3 phần bài tập bổ sung trang 60 SBT toán 9 tập 2

Câu hỏi:

Bài 7.1

Giải các phương trình:
a)
b)
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn.
- Giải phương trình mới tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện.
- Giải phương trình ẩn ứng với từng nghiệm trên và kết luận.
Lời giải chi tiết:
a)

Đặt
Ta có phương trình: có
Với ta có:


Với ta có:

Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm:

b) .
Điều kiện

Đặt
Ta có phương trình:


loại

Phương trình có nghiệm:

Bài 7.2

Cho phương trình
a) Giải phương trình khi .
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của .
Phương pháp giải:
a) Thay và giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
b) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, chứng minh phương trình này có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Lời giải chi tiết:
a) Khi ta có phương trình: điều kiện
Ta có:
Đặt
Ta có phương trình:

loại

Vậy phương trình có nghiệm
b) .
Điều kiện

Đặt
Ta có phương trình:
nên
và khác dấu, phương trình có hai nghiệm phân biệt và trái dấu nhau.
Giả sử thì (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.

Bài 7.3

(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)
Tìm giá trị của để phương trình

có đúng ba nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình về

- Nhận xét phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm duy nhất không trùng với hai nghiệm của (1) hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là nghiệm của (1).
Lời giải chi tiết:
Phương trình:

Ta xét phương trình (1):
với mọi
Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt
Ta xét phương trình (2):

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi

Vì

Vậy với thì phương trình (2) có nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).
Ta có: suy ra và nghiệm kép phương trình (2) là:
Khi đó, không được là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:



loại vì
Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và trong đó có nghiệm giả sử là cũng là nghiệm của phương trình (1).
Phương trình (2) có nghiệm phân biệt
Và gọi là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2), ta có:


Vì cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay vào phương trình (1) ta có:

(vì )

Vì nên loại
Vậy (thỏa mãn).
Thay vào phương trình (1) và (2) ta có:
Phương trình (1):
Phương trình (2):
Giải phương trình (1):

Giải phương trình (2):

Vậy phương trình đã cho có đúng nghiệm khi