Bài 66 trang 41 SBT toán 8 tập 1

Câu hỏi: Chú ý rằng nếu \(c > 0\) thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a - b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi \(a, b\). Áp dụng điều này chứng minh rằng :

Câu a

Với mọi giá trị của \(x \ne \pm 1\), biểu thức \(\displaystyle {{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) luôn luôn có giá trị dương;
Phương pháp giải:
- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.
- Vận dụng kiến thức \((a+b)^2 \geqslant 0\) với mọi \(a, b\).
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\)
\(\displaystyle = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)\(-\displaystyle {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \)\(\displaystyle = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)\(\displaystyle = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2}\)
Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2\)\( = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của \(x.\)
Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\).

Câu b

Với mọi giá trị của \(x \ne 0\) và \(\ne – 3\), biểu thức : \(\displaystyle {{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) \)\(+\displaystyle {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm.
Phương pháp giải:
- Thực hiện phép tính và biến đổi phân thức về dạng đơn giản.
- Vận dụng kiến thức \((a+b)^2 \geqslant 0\) với mọi \(a, b\).
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle {{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) \)\(+\displaystyle {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne - 3\)
\(\displaystyle = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}}\)\(+\displaystyle {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)
\( \displaystyle = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \)\(+\displaystyle \displaystyle {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)
\(\displaystyle = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)
\(\displaystyle = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}}\)
\(\displaystyle = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \)\(\displaystyle = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} \)
\(\displaystyle = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}}\)
\(\displaystyle = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} \)\(\displaystyle= {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x + 3}}\)
\(\displaystyle = - {x^2} + 4x - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\)
Vì \({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của \(x\)
nên \( - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của \(x\).
Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\) và \(x \ne - 3\)