Google
Câu hỏi: Cho hai điểm \(A, B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(xy\) (\(AB\) không vuông góc với \(xy\)). Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(xy,\) \(C\) là giao điểm của \(A'B\) và \(xy.\) Gọi \(M\) là điểm bất kì khác \(C\) thuộc đường thẳng \(xy.\) Chứng minh rằng \(AC + CB < AM + MB.\)
Phương pháp giải
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
Vì \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(xy\)
\(⇒ xy\) là đường trung trực của \(AA'\)
\(⇒ CA' = CA\) (tính chất đường trung trực)
\(MA = MA'\) (tính chất đường trung trực)
\(AC + CB = A'C + CB = A'B (1)\)
\(MA + MB = MA' + MB (2)\)
Trong \(∆ MA'B\) ta có:
\(A'B < A'M + MB\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(AC + CB < AM + MB\)
+) Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải chi tiết
Vì \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(xy\)
\(⇒ xy\) là đường trung trực của \(AA'\)
\(⇒ CA' = CA\) (tính chất đường trung trực)
\(MA = MA'\) (tính chất đường trung trực)
\(AC + CB = A'C + CB = A'B (1)\)
\(MA + MB = MA' + MB (2)\)
Trong \(∆ MA'B\) ta có:
\(A'B < A'M + MB\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(AC + CB < AM + MB\)