Bài 60 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Câu hỏi: Giải các hệ phương trình

Câu a​

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr 
{x^2} + {y^2} - xy = 3 \hfill \cr} \right.\)
Phương pháp giải:
Đặt \(S = x + y; P = xy\), giải hệ phương trình ẩn S, P
Từ đó suy ra x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + P = 7 \hfill \cr 
{S^2} - 2P - P = 3 \hfill \cr} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} - P = 7 \hfill \cr 
{S^2} - 3P = 3 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2P = 4\\
{S^2} - P = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = 2\\
{S^2} = 9
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 3; P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình:
\({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr 
X = 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((1,2); (2,1)\)
+ Với \(S = -3, P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình
\({X^2} + 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = - 1\\
X = - 2
\end{array} \right.\)
Ta có nghiệm \((-1, -2); (-2, -1)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm là: \((1,2); (2,1); (-1, -2); (-2, -1)\)

Câu b​

\(\left\{ \matrix{
2{(x + y)^2} - xy = 1 \hfill \cr 
{x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(S = x + y; P = xy\), ta có:
\(\left\{ \matrix{
2{S^2} - P = 1 \hfill \cr 
SP = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
S = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
2{S^2} - P = 1\\
P = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = 0 \hfill \cr 
P = - 1 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{
S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr 
P = 0 \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 0; P = -1\) thì x, y là nghiệm phương trình
\({X^2} – 1 = 0 ⇔ X = ± 1\), ta có nghiệm \((1, -1); (-1,1)\)
+ Với \(S =  \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\), ta có nghiệm: \((0, {1 \over {\sqrt 2 }}); ({1 \over {\sqrt 2 }}, 0); (0, - {1 \over {\sqrt 2 }}); (- {1 \over {\sqrt 2 }}, 0)\)