Bài 6 trang 201 SBT Hình học 10

Câu hỏi: Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là \(\left( { - \sqrt 3; 0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) .

Câu a

Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
Lời giải chi tiết:
(E) có tiêu điểm\({F_1}\left( { - \sqrt 3; 0} \right)\)  nên \(c = \sqrt 3 .\)
Phương trình chính tắc của (E) có dạng
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\)
Ta có : \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in (E)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1 (1)\)
Và   \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)
Thay vào (1) ta được :
\(\frac{1}{{{b^2} + 3}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1 \) \(\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3)\)
\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\) .
Suy ra \({a^2} = 4.\)
Ta có a = 2; b = 1.
Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2; 0), (2; 0), (0 ; -1) và (0; 1).

Câu b

Viết phương trình chính tắc của (E).
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của (E) là :
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Câu c

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Lời giải chi tiết:
(E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3; 0} \right)\) . Đường thẳng\(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {\sqrt 3; 0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3 .\)
Phương trình tung độ giao điểm của\(\Delta \) và (E) là :
\(\frac{3}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) \(\Leftrightarrow {y^2} =  \pm \frac{1}{2}.\)
Suy ra tọa độ của C và D là : \(C\left( {\sqrt 3 ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;\frac{1}{2}} \right)\)
Vậy CD = 1.