Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng:

Câu a

Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);\)
Phương pháp giải:
Giả sử \(z=a+bi (a, b\in\mathbb R)\), tính các số phức \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\) và \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right)\) suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi (a, b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z  = a - bi\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left( {z + \overline z } \right)\) \(= \frac{1}{2}\left( {a + bi + a - bi} \right) = a\) là phần thực của \(z\).
\(\frac{1}{{2i}}\left( {z - \overline z } \right)\) \(= \frac{1}{{2i}}\left( {a + bi - a + bi} \right)\) \(= \frac{1}{{2i}}. 2bi = b\) là phần ảo của \(z\).

Câu b

Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \overline z ;\)
Lời giải chi tiết:
z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0
\(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z =  - \overline z \)
Cách khác:
\(z =- \overline z\) \(\Leftrightarrow z + \overline z  = 0 \) \(\Leftrightarrow a + bi + a - bi =0\) \(\Leftrightarrow 2a = 0 \) \(\Leftrightarrow a = 0\)

Câu c

Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} , \overline {zz'}  = \overline z . \overline {z'} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} \).
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi; z'=a'+b'i\) \((a, b, a', b'\in\mathbb R)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} \cr &= a + a' - (b + b')i \cr 
&= a - bi + a' - b'i = \overline z + \overline {z'} \cr 
& \overline {z. Z'} = \overline {\left({a + bi} \right).\left({a' + b'i} \right)} \cr &= \overline {\left({aa' - bb'} \right) + \left({ab' + a'b} \right)i} \cr 
& = aa' - bb' - \left({ab' + a'b} \right)i \cr 
&  \overline z.\overline {z'}  = \left({a - bi} \right)\left({a' - b'i} \right)\cr 
& = aa' - a'bi - ab'i + bb'{i^2}\cr & = aa' - bb' - \left({a'b + ab'} \right)i\cr & \Rightarrow \overline {z. Z'}  = \overline z .\overline {z'} \cr &\overline {\left({{{z'} \over z}} \right)} = \overline {\left({{{z'.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline {\overline z } \cr &= {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} . Z = {{\overline {z'} } \over {\overline z }} \cr} \)