Google
Câu hỏi: Hai điểm \(M\) và \(K\) thứ tự nằm trên cạnh \(AB\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\); hai đoạn thẳng \(AK\) và \(CM\) cắt nhau tại điểm \(P.\) Biết rằng \(AP = 2 PK\) và \(CP = 2PM.\)
Chứng minh rằng \(AK\) và \(CM\) là các trung tuyến của tam giác \(ABC.\)
Chứng minh rằng \(AK\) và \(CM\) là các trung tuyến của tam giác \(ABC.\)
Phương pháp giải
Sử dụng:
- Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
\(AP = 2 PK\) và \(CP = 2PM\) (gt)
\( \Rightarrow \displaystyle{{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)
\( \Rightarrow\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)
Xét \(∆ PKM\) và \(∆ PAC\) có:
\(\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {APC} = \widehat {KPM}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow ∆ PKM\) đồng dạng \(∆ PAC\) (c.g.c) với tỉ số đồng dạng \(k =\displaystyle {{PK} \over {PA}}= {1 \over 2}\).
\( \Rightarrow\displaystyle {{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (1)
Vì \(∆ PKM\) đồng dạng \(∆ PAC\) suy ra \(\widehat {PKM} = \widehat {PAC}\)
Mà \(\widehat {PKM} \) và \( \widehat {PAC}\) ở vị trí so le trong nên \( KM // AC\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
Trong tam giác \(ABC\) có \(KM // AC\) nên \(\widehat {BMK} = \widehat {BAC}\) (hai góc đồng vị)
Lại có góc \(B\) chung nên \( ∆ BMK\) đồng dạng \(∆ BAC\) (g.g)
\( \Rightarrow\displaystyle {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}\)
Do đó \(BM = \displaystyle {1 \over 2} BA\) nên \(M\) là trung điểm của \(AB\).
\(BK =\displaystyle {1 \over 2} BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(BC\).
Vậy \(AK\) và \(CM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)
Sử dụng:
- Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
\(AP = 2 PK\) và \(CP = 2PM\) (gt)
\( \Rightarrow \displaystyle{{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)
\( \Rightarrow\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)
Xét \(∆ PKM\) và \(∆ PAC\) có:
\(\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {APC} = \widehat {KPM}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow ∆ PKM\) đồng dạng \(∆ PAC\) (c.g.c) với tỉ số đồng dạng \(k =\displaystyle {{PK} \over {PA}}= {1 \over 2}\).
\( \Rightarrow\displaystyle {{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (1)
Vì \(∆ PKM\) đồng dạng \(∆ PAC\) suy ra \(\widehat {PKM} = \widehat {PAC}\)
Mà \(\widehat {PKM} \) và \( \widehat {PAC}\) ở vị trí so le trong nên \( KM // AC\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau).
Trong tam giác \(ABC\) có \(KM // AC\) nên \(\widehat {BMK} = \widehat {BAC}\) (hai góc đồng vị)
Lại có góc \(B\) chung nên \( ∆ BMK\) đồng dạng \(∆ BAC\) (g.g)
\( \Rightarrow\displaystyle {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}\)
Do đó \(BM = \displaystyle {1 \over 2} BA\) nên \(M\) là trung điểm của \(AB\).
\(BK =\displaystyle {1 \over 2} BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(BC\).
Vậy \(AK\) và \(CM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)