Bài 5 trang 5 SBT toán 7 tập 1

Câu hỏi: Cho hai số hữu tỉ \(\displaystyle{a \over b}\) và \(\displaystyle{c \over d}\) \((b > 0, d > 0)\). Chứng tỏ rằng

Câu a

Nếu \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\) thì \(ad < bc\) ;
Phương pháp giải:
Hai phân số cùng mẫu dương, tử số của phân số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} \left( \text{với }{b > 0} \right)\\
\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} \left(\text{với } {b > 0} \right) \Rightarrow a < c
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\displaystyle {a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}}\) (với \(d > 0\));
\(\displaystyle{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) (với \(b > 0\)).
Mà \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\) nên \(\displaystyle {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\)
Vì \(bd > 0\) nên \(ad < bc\).

Câu b

Nếu \(ad < bc\) thì \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}.\)
Phương pháp giải:
Hai phân số cùng mẫu dương, tử số của phân số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ta có:
\(\begin{array}{l}
a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} \left( \text{với }{b > 0} \right)\\
\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b} \left(\text{với } {b > 0} \right) \Rightarrow a < c
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Có \(ad < bc\)
Với \(b>0, d > 0\) suy ra \(\displaystyle {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\) (1)
Mặt khác: \(\dfrac{{ad}}{{bd}} = \dfrac{a}{b}; \dfrac{{bc}}{{bd}} = \dfrac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\).