Google
Câu hỏi: Tìm đạo hàm của hàm số sau:
\(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left({{{\sin }^2}x} \right).\)
\(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right).\cos \left({{{\sin }^2}x} \right).\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) và các biến đổi lượng giác:
$\begin{array}{l}
\cos u\cos v + \sin u\sin v = \cos \left( {u - v} \right)\\
2\sin u\sin u = \sin 2u\\
{\cos ^2}u - {\sin ^2}u = \cos 2u
\end{array}$
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
y' = \left[ {\sin \left({{{\cos }^2}x} \right)} \right]'\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
+ \sin \left({{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\
= \left({{{\cos }^2}x} \right)'\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
+ \sin \left({{{\cos }^2}x} \right).\left({{{\sin }^2}x} \right)'.\left[ { - \sin \left({{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\
= 2\cos x\left({\cos x} \right)'\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
- \sin \left({{{\cos }^2}x} \right). 2\sin x\left({\sin x} \right)'.\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
= 2\cos x.\left({ - \sin x} \right)\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
- \sin \left({{{\cos }^2}x} \right). 2\sin x\cos x\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
= - \sin 2x\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
- \sin \left({{{\cos }^2}x} \right).\sin 2x\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
= - \sin 2x.\\.\left[ {\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left({{{\cos }^2}x} \right)\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\
= - \sin 2x\cos \left({{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\
= - \sin 2x\cos \left({\cos 2x} \right)
\end{array}\)
Sử dụng công thức: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) và các biến đổi lượng giác:
$\begin{array}{l}
\cos u\cos v + \sin u\sin v = \cos \left( {u - v} \right)\\
2\sin u\sin u = \sin 2u\\
{\cos ^2}u - {\sin ^2}u = \cos 2u
\end{array}$
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}
y' = \left[ {\sin \left({{{\cos }^2}x} \right)} \right]'\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
+ \sin \left({{{\cos }^2}x} \right).\left[ {\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)} \right]'\\
= \left({{{\cos }^2}x} \right)'\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
+ \sin \left({{{\cos }^2}x} \right).\left({{{\sin }^2}x} \right)'.\left[ { - \sin \left({{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\
= 2\cos x\left({\cos x} \right)'\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
- \sin \left({{{\cos }^2}x} \right). 2\sin x\left({\sin x} \right)'.\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
= 2\cos x.\left({ - \sin x} \right)\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
- \sin \left({{{\cos }^2}x} \right). 2\sin x\cos x\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
= - \sin 2x\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
- \sin \left({{{\cos }^2}x} \right).\sin 2x\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)\\
= - \sin 2x.\\.\left[ {\cos \left({{{\cos }^2}x} \right)\cos \left({{{\sin }^2}x} \right) + \sin \left({{{\cos }^2}x} \right)\sin \left({{{\sin }^2}x} \right)} \right]\\
= - \sin 2x\cos \left({{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\\
= - \sin 2x\cos \left({\cos 2x} \right)
\end{array}\)