Google
Câu hỏi:
A) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)
B) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\)
C) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {b \over a}\)
D) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {{b'} \over {2a}}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0 (a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)
+ Nếu \(\Delta ' >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\)
+ Nếu \(\Delta ' =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}\).
+ Nếu \(\Delta ' <0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Giả sử \({x_1} , {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(∆' = 0\) thì \({x_1} = {x_2} \displaystyle= - {{b'} \over a}\)
Chọn B.
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:
- TH1: \(a=0\) từ đó tìm nghiệm của (1).
- TH2: \(a\ne 0\), phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
- TH1: \({{b^2} + {c^2}}=0\) \( \Leftrightarrow b = 0\) và \(c = 0\).
Khi đó phương trình đã cho có dạng: \({a^2} = 0\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi \(a=0\).
Vậy \(a=b=c=0\) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.
- TH2: \({b^2} + {c^2} \ne 0\)
Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\)
\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra \(b\) và \(c\) không đồng thời bằng \(0.\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \({b^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)
Vậy \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
Phương pháp giải:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0 (a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) luôn có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\).
Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có \(\Delta ' \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
\( \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \)\( + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx \)\( + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc\)\( + ac = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \)
\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)\( - 3ab - 3ac - 3bc \)
\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}( 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac\)\( - 2bc) \)
\(\displaystyle= {1 \over 2}[ \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)\( + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)] \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \)
Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \Delta ' = \displaystyle{1 \over 2}[ {{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} \)\( + {{\left( {a - c} \right)}^2}] \ge 0\)
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Bài 5.1
Giả sử \({x_1} , {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(∆' = 0\). Điều nào sau đây là đúng?A) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)
B) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\)
C) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {b \over a}\)
D) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = - {{b'} \over {2a}}\)
Phương pháp giải:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0 (a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)
+ Nếu \(\Delta ' >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\)
+ Nếu \(\Delta ' =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}\).
+ Nếu \(\Delta ' <0\) thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Giả sử \({x_1} , {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(∆' = 0\) thì \({x_1} = {x_2} \displaystyle= - {{b'} \over a}\)
Chọn B.
Bài 5.2
Tìm mối liên hệ giữa \(a, b, c\) để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm.Phương pháp giải:
Tìm điều kiện để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:
- TH1: \(a=0\) từ đó tìm nghiệm của (1).
- TH2: \(a\ne 0\), phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
- TH1: \({{b^2} + {c^2}}=0\) \( \Leftrightarrow b = 0\) và \(c = 0\).
Khi đó phương trình đã cho có dạng: \({a^2} = 0\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi \(a=0\).
Vậy \(a=b=c=0\) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm.
- TH2: \({b^2} + {c^2} \ne 0\)
Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\)
\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra \(b\) và \(c\) không đồng thời bằng \(0.\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \)
Vì \({b^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)
Vậy \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 5.3
Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \) \(+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.Phương pháp giải:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0 (a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) luôn có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\).
Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có \(\Delta ' \ge 0\).
Lời giải chi tiết:
\( \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \)\( + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx \)\( + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc\)\( + ac = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \)
\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)\( - 3ab - 3ac - 3bc \)
\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}( 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac\)\( - 2bc) \)
\(\displaystyle= {1 \over 2}[ \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)\( + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)] \)
\(\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \)
Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \Delta ' = \displaystyle{1 \over 2}[ {{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} \)\( + {{\left( {a - c} \right)}^2}] \ge 0\)
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!