Google
Câu hỏi: Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax - {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Phương pháp giải
- Tìm y'.
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y'\(\le 0\) với mọi x.
Chú ý: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
\(a{x^2} + bx + c \le 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y' = a - 3{x^2}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3{x^2} + a \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta = {0^2} - 4.\left( { - 3} \right). A \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 12a \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 0\end{array}\)
Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤0,∀x ∈R, y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: y'≤0 ⇔ a-3x2≤0, ∀x
⇔ 3x2 ≥ a, ∀x ∈R
⇔ a≤min(3x2 ), mà 3x2≥0 ∀x ∈R
Nên \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {3{x^2}} \right) = 0\). Vậy \(a \le 0\).
Kết luận: với a≤0 thì y=ax-3x3 nghịch biến trên R.
Cách 3:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y' = a - 3{x^2}\)
• Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a = 0\) thì \(y' = - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\)
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \({\mathbb R}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).
- Tìm y'.
- Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y'\(\le 0\) với mọi x.
Chú ý: Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:
\(a{x^2} + bx + c \le 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y' = a - 3{x^2}\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3{x^2} + a \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta = {0^2} - 4.\left( { - 3} \right). A \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 12a \le 0\\ \Leftrightarrow a \le 0\end{array}\)
Cách 2. Hàm số nghịch biến trên R, điều kiện y'≤0,∀x ∈R, y'=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Ta có: y'≤0 ⇔ a-3x2≤0, ∀x
⇔ 3x2 ≥ a, ∀x ∈R
⇔ a≤min(3x2 ), mà 3x2≥0 ∀x ∈R
Nên \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} \left( {3{x^2}} \right) = 0\). Vậy \(a \le 0\).
Kết luận: với a≤0 thì y=ax-3x3 nghịch biến trên R.
Cách 3:
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y' = a - 3{x^2}\)
• Nếu \(a < 0\) thì \(y' < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a = 0\) thì \(y' = - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a > 0\) thì \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\)
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \({\mathbb R}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).