Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:
\(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\) \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\).
Phương pháp giải:
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: \(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; 3; 5} \right)\), \(mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; 1; 1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\) thì \(0 \le \varphi \le {90^0}\) và
\(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) \(= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\).
Phương pháp giải:
Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Lời giải chi tiết:
d có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + 3t \hfill \cr
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\).
Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\(2\left( {2 + 2t} \right) + \left({ - 1 + 3t} \right) + \left({1 + 5t} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow t = {1 \over 3}\)
Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3}; 0;{8 \over 3}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì hình chiếu d' của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta)}}} \) của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2; 8; - 4} \right)\).
Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1; 1} \right)\).
Do đó \(\left( \beta \right)\) có phương trình:
\(- 2\left( {x - 2} \right) + 8\left({y + 1} \right) - 4\left({z - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow - x + 4y - 2z + 8 = 0\).
Hình chiếu d' qua I và có vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1 1 \hfill \cr
4 - 2 \hfill \cr} \right|; \left| \matrix{
1 2 \hfill \cr
- 2 - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2 1 \hfill \cr
- 1 4 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 6; 3; 9} \right) = 3\left({ - 2; 1; 3} \right)\)
Vậy d' có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\)
\(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\) \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\).
Câu a
Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\).Phương pháp giải:
Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: \(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; 3; 5} \right)\), \(mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; 1; 1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\) thì \(0 \le \varphi \le {90^0}\) và
\(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) \(= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\).
Câu b
Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\).Phương pháp giải:
Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Lời giải chi tiết:
d có phương trình tham số
\(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + 3t \hfill \cr
z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.\).
Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\(2\left( {2 + 2t} \right) + \left({ - 1 + 3t} \right) + \left({1 + 5t} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow t = {1 \over 3}\)
Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3}; 0;{8 \over 3}} \right)\).
Câu c
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha \right)\).Lời giải chi tiết:
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) thì hình chiếu d' của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\).
Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta)}}} \) của \(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2; 8; - 4} \right)\).
Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1; 1} \right)\).
Do đó \(\left( \beta \right)\) có phương trình:
\(- 2\left( {x - 2} \right) + 8\left({y + 1} \right) - 4\left({z - 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow - x + 4y - 2z + 8 = 0\).
Hình chiếu d' qua I và có vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
1 1 \hfill \cr
4 - 2 \hfill \cr} \right|; \left| \matrix{
1 2 \hfill \cr
- 2 - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2 1 \hfill \cr
- 1 4 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 6; 3; 9} \right) = 3\left({ - 2; 1; 3} \right)\)
Vậy d' có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!