Bài 3 trang 71 SGK Hình học 11

Phương pháp giải
a) Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
b) Gọi lần lượt là tâm của hình bình hành , gọi , là giao điểm của với và . Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra các tỉ số và chỉ ra của hai tam giác và .
c) Chứng minh các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ số.
d)
Lời giải chi tiết

A) Ta có: là hình bình hành .
là hình bình hành .
.
b) Gọi lần lượt là tâm của hình bình hành , , là giao điểm của với và
đồng dạng (g. G)
.
Lại có là đường trung tuyến của là trọng tâm .
Chứng minh tương tự ta có: là trọng tâm .
Vậy đi qua lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và .
Cách khác:
Gọi O = AC ∩ BD
+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA'C'C)
⇒ A'O ⊂ (AA'C'C).
Trong (AA'C'C), gọi A'O ∩ AC' = G1​.
G1​ ∈ A'O ⊂ (A'BD)
⇒ G1​ ∈ AC' ∩ (BDA').
+ Trong hình bình hành AA'C'C gọi I = A'C ∩ AC'
⇒ A'I = IC.
⇒ AI là trung tuyến của ΔA'AC
⇒ G1​ = A'O ∩ AC' là giao của hai trung tuyến AI và A'O của ΔA'AC
⇒ G1​ là trọng tâm ΔA'AC
⇒ A'G1​ = 2. A'O/3
⇒ G1​ cũng là trọng tâm ΔA'BD.
Vậy AC' đi qua trọng tâm G1​ của ΔA'BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm G2​.
c) Chứng minh
= (vì đồng dạng ) .
Từ đó suy ra:
Cách khác:
*Vì G1​ là trọng tâm của ΔAA'C nên AG1​/AI = 2/3 .
Vì I là trung điểm của AC' nên AI = 1/2. AC'
Từ các kết quả này, ta có : AG1​ = 1/3. AC'
*Chứng minh tương tự ta có : C'G2​ = 1/3. AC'
Suy ra : AG1​ = G1​G2​ = G2​C' = 1/3. AC'.
d) suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng là .