Google
Câu hỏi: Cho hình hộp \(ABCD. A'B'C'D'\).
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BDA')\) và \((B'D'C)\) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo \(AC'\) đi qua trọng tâm \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).
c) Chứng minh \({G_{1},{G_{2}}^{}}^{}\) chia đoạn \(AC'\) thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(AA'C'C\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((A'IO)\) với hình hộp đã cho.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BDA')\) và \((B'D'C)\) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo \(AC'\) đi qua trọng tâm \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).
c) Chứng minh \({G_{1},{G_{2}}^{}}^{}\) chia đoạn \(AC'\) thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm của các hình bình hành \(ABCD\) và \(AA'C'C\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((A'IO)\) với hình hộp đã cho.
Phương pháp giải
a) Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
b) Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD, A'B'C'D'\), gọi \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\). Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra các tỉ số và chỉ ra \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).
c) Chứng minh các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ số.
d) \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\)
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(BB'//DD'; BB'=DD' \Rightarrow\) \(BDD'B'\) là hình bình hành \(\Rightarrow BD//B'D'\).
\(BC//A'D'; BC=A'D' \Rightarrow BCD'A'\) là hình bình hành \(\Rightarrow A'B//CD'\).
\(\Rightarrow (BDA')//(B'D'C)\).
b) Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD, A'B'C'D'\), \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\)
\(\Delta {G_1}OA\) đồng dạng \(\Delta {G_1}A'C'\) (g. G)
\(\Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\).
Lại có \({G_1} \in A'O\) là đường trung tuyến của \(\Delta BDA'\) \(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm \(\Delta A'BD\).
Chứng minh tương tự ta có: \(G_2\) là trọng tâm \(\Delta B'D'C\).
Vậy \(AC'\) đi qua \(G_1, G_2\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).
Cách khác:
Gọi O = AC ∩ BD
+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA'C'C)
⇒ A'O ⊂ (AA'C'C).
Trong (AA'C'C), gọi A'O ∩ AC' = G1.
G1 ∈ A'O ⊂ (A'BD)
⇒ G1 ∈ AC' ∩ (BDA').
+ Trong hình bình hành AA'C'C gọi I = A'C ∩ AC'
⇒ A'I = IC.
⇒ AI là trung tuyến của ΔA'AC
⇒ G1 = A'O ∩ AC' là giao của hai trung tuyến AI và A'O của ΔA'AC
⇒ G1 là trọng tâm ΔA'AC
⇒ A'G1 = 2. A'O/3
⇒ G1 cũng là trọng tâm ΔA'BD.
Vậy AC' đi qua trọng tâm G1 của ΔA'BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm G2.
c) Chứng minh
\(\frac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C'}}\) = \(\frac{AO}{A'C'} = \frac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_1OA\) đồng dạng \(\Delta G_1 A'C'\)) \(\Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\).
Từ đó suy ra: \(AG_{1} = G_{1}G_{2}= G_{2}C'\)
Cách khác:
*Vì G1 là trọng tâm của ΔAA'C nên AG1/AI = 2/3 .
Vì I là trung điểm của AC' nên AI = 1/2. AC'
Từ các kết quả này, ta có : AG1 = 1/3. AC'
*Chứng minh tương tự ta có : C'G2 = 1/3. AC'
Suy ra : AG1 = G1G2 = G2C' = 1/3. AC'.
d) \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\) suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng \((A'IO)\) là \(AA'C'C\).
a) Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
b) Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD, A'B'C'D'\), gọi \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\). Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra các tỉ số và chỉ ra \({G_{1},{G_{2}}}\) của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).
c) Chứng minh các tam giác đồng dạng, suy ra các tỉ số.
d) \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\)
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(BB'//DD'; BB'=DD' \Rightarrow\) \(BDD'B'\) là hình bình hành \(\Rightarrow BD//B'D'\).
\(BC//A'D'; BC=A'D' \Rightarrow BCD'A'\) là hình bình hành \(\Rightarrow A'B//CD'\).
\(\Rightarrow (BDA')//(B'D'C)\).
b) Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm của hình bình hành \(ABCD, A'B'C'D'\), \({G_{1}}^{}\), \({G_{2}}^{}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(A'O\) và \(CO'\)
\(\Delta {G_1}OA\) đồng dạng \(\Delta {G_1}A'C'\) (g. G)
\(\Rightarrow {{{G_1}O} \over {{G_1}A'}} = {{OA} \over {A'C'}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{A'{G_1}} \over {A'O}} = {2 \over 3}\).
Lại có \({G_1} \in A'O\) là đường trung tuyến của \(\Delta BDA'\) \(\Rightarrow G_1\) là trọng tâm \(\Delta A'BD\).
Chứng minh tương tự ta có: \(G_2\) là trọng tâm \(\Delta B'D'C\).
Vậy \(AC'\) đi qua \(G_1, G_2\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(BDA'\) và \(B'D'C\).
Cách khác:
Gọi O = AC ∩ BD
+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA'C'C)
⇒ A'O ⊂ (AA'C'C).
Trong (AA'C'C), gọi A'O ∩ AC' = G1.
G1 ∈ A'O ⊂ (A'BD)
⇒ G1 ∈ AC' ∩ (BDA').
+ Trong hình bình hành AA'C'C gọi I = A'C ∩ AC'
⇒ A'I = IC.
⇒ AI là trung tuyến của ΔA'AC
⇒ G1 = A'O ∩ AC' là giao của hai trung tuyến AI và A'O của ΔA'AC
⇒ G1 là trọng tâm ΔA'AC
⇒ A'G1 = 2. A'O/3
⇒ G1 cũng là trọng tâm ΔA'BD.
Vậy AC' đi qua trọng tâm G1 của ΔA'BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm G2.
c) Chứng minh
\(\frac{A{G_{1}}^{}}{{G_{1}C'}}\) = \(\frac{AO}{A'C'} = \frac{1}{2}\) (vì \(\Delta G_1OA\) đồng dạng \(\Delta G_1 A'C'\)) \(\Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\).
Từ đó suy ra: \(AG_{1} = G_{1}G_{2}= G_{2}C'\)
Cách khác:
*Vì G1 là trọng tâm của ΔAA'C nên AG1/AI = 2/3 .
Vì I là trung điểm của AC' nên AI = 1/2. AC'
Từ các kết quả này, ta có : AG1 = 1/3. AC'
*Chứng minh tương tự ta có : C'G2 = 1/3. AC'
Suy ra : AG1 = G1G2 = G2C' = 1/3. AC'.
d) \((A'IO) ≡ (AA'C'C)\) suy ra thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng \((A'IO)\) là \(AA'C'C\).