Bài 3 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác ABC với AB = 4; AC = 5, BC = 6.

Câu a

Tính các góc A, B, C.
Lời giải chi tiết:
Ta có $a=6,b=5,c=4$
$\begin{array}{rl}& \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+4^2-6^2}{2.5.4}=\frac{1}{8}\\ & \Rightarrow \hat{A}\approx {83}^0\\ & \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{6^2+4^2-5^2}{2.6.4}=\frac{9}{16}\\ & \Rightarrow \hat{B}\approx {56}^0\\ & \Rightarrow \hat{C}\approx {41}^0\end{array}$

Câu b

Tính độ dài các đường trung tuyến và diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết:
Nửa chu vi của tam giác $\mathrm{ABC}$ là:
$\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{15}{2}$
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{5^2+4^2}{2}-\frac{6^2}{4}=\frac{23}{2}$ suy ra: $m_a=\frac{\sqrt{46}}{2}$
$m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{6^2+4^2}{4}-\frac{5^2}{4}=\frac{79}{4}$ suy tra: $m_b=\frac{\sqrt{79}}{2}$
$m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}=\frac{6^2+5^2}{2}-\frac{4^2}{4}=\frac{53}{2}$ suy tra: $m_c=\frac{\sqrt{106}}{2}$
Áp dụng công thức Hê - rông ta có diện tích tam giác $\mathrm{ABC}$ là:
$S=\sqrt{p(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}$
$=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot (\frac{15}{2}-6)\cdot (\frac{15}{2}-5)\cdot (\frac{15}{2}-4)}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$

Câu c

Tính các bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác.
Lời giải chi tiết:
Ta có: $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$ suy ra $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{S}}=\frac{4.5.6}{15\sqrt{7}}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$
Lại có: $\mathrm{S}=\mathrm{pr}$ suy ra $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{p}}$ suy ra $\mathrm{r}=\frac{15\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{2}{15}=\frac{\sqrt{7}}{2}$