Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\beta)\): \(x + 3ky – z + 2 = 0\) và \((\gamma)\) : \(kx – y + z + 1 = 0\). Tìm \(k\) để giao tuyến của \((\beta)\) và \((\gamma)\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\): x – y – 2z + 5 = 0.
Phương pháp giải
- Tìm VTCP của đường thẳng giao tuyến \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\).
- Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì \(\overrightarrow a \) cùng phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (1; 3k; - 1)\) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (k; - 1; 1)\). Gọi \(d = (\beta) \cap (\gamma)\)
Đường thẳng \(d\) vuông góc với giá của \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} \) nên có vecto chỉ phương là:
\(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)\(= \left( {3k - 1; - k - 1; - 1 - 3{k^2}} \right)\)
Ta có: \(d \bot (\alpha)\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{3k - 1}}{1} = \dfrac{{ - k - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 - 3{k^2}}}{{ - 2}}\) \(\Leftrightarrow k = 1\)
- Tìm VTCP của đường thẳng giao tuyến \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\).
- Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì \(\overrightarrow a \) cùng phương \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \).
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {{n_\beta }} = (1; 3k; - 1)\) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} = (k; - 1; 1)\). Gọi \(d = (\beta) \cap (\gamma)\)
Đường thẳng \(d\) vuông góc với giá của \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) và \(\overrightarrow {{n_\gamma }} \) nên có vecto chỉ phương là:
\(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\overrightarrow {{n_\gamma }} } \right]\)\(= \left( {3k - 1; - k - 1; - 1 - 3{k^2}} \right)\)
Ta có: \(d \bot (\alpha)\)\(\Leftrightarrow \dfrac{{3k - 1}}{1} = \dfrac{{ - k - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{ - 1 - 3{k^2}}}{{ - 2}}\) \(\Leftrightarrow k = 1\)